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mel
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 17:18: | 
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habe fragen zu folgender funktion
1+e^x/1-e^x für alle R, für x=1 0
ist diese funktion injektiv, surjektiv, monoton, stetig?
wie beweise ich surjektivität und monotonie?
wie lautet die stammfunktion und die ersten beiden ableitungen? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 19:12: |
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Hallo :
Nach Erweitern mit e^(- x/2) erkennt man, dass
f(x) = - cosh(x/2)/sinh(x/2) = - coth(x/2).
P.M.: cosh(t):= (e^t+e^(-t))/2,
sinh(t) := (e^t-e^(-t))/2.
Daher ist
f'(x) = 1/[sinh(x/2)]^2 > 0.
f ist somit streng monoton wachsend und daher
injektiv.
FŸr kein x ist f(x) = 1, also ist f nicht surjektiv.
f ist offenbar stetig, denn e^x ist stetig, und
durch Verkettung stetiger Funktionen entstehen
wieder stetige Funktionen.
Um eine Stammfunktion zu finden, beachte, dass
(d/dx)sinh(x/2) = (1/2)cosh(x/2)
sowie die Regel
int(g'(t)/g(t))dt = ln|g(t)| + C
Die Ermittlung der 2. Ableitung ist Routine.
Hans |
mel
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 21:45: |
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Danke,aber irgendwie verstehe ich das jetzt nicht. was hat denn die funktion mit cosh und sinh zu tun?kann man das nicht einfacher lösen? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 22:36: |
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Ja, man kann auch ohne cosh und sinh auskommen, nur ist's nicht so elegant.
Rechne z.B. nach, dass
f'(x) = 2*e^x/(1 - e^x)^2
FŸr die Integration musst Du dann die Substitution
e^x = t ==> dx = dt/t vornehmen, der Integrand wird dann (Partialbruchzerlegung !)
(1+t)/(t*(1-t)) = 1/t + 2/(1-t)
und man erhaelt
ln [e^x/(1-e^x)^2]
was natŸrlich dasselbe ist wie oben. |
mel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 08:56: |
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besten dank. habe mich allerdings bei der aufgabe vertippt. nicht für x=1 0, sondern für x=0 1, das ändert doch aber nichts, oder? |
rare
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 10:17: |
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Warum ist die Funktion denn stetig? Nach der Regel f(0)=lim x->0,x>0 = lim x->0,x<0 ist sie doch nicht stetig, da es gegen +- unendlich geht. Oder gilt diese Regel hier nicht ? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 10:49: |
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Ich verstehe nicht ganz, was mit x=0 1 bzw. x=1 0
gemeint sein soll. Wenn Der Definitionsbereich
D = R - {0} ist, dann liegt 0 nicht in D, also ist
f dort weder stetig noch unstetig. Ist jedoch
D = R und f(0):=1, dann ist f bei 0 unstetig, denn
lim[x->0]f(x) existiert nicht. |
mel
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 17:09: |
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ich meinte, wenn x gleich 0 ist würde der nenner ja 1-1 lauten, deshalb für x=0 1. |
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