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Beitrag |
    
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 12:46: | 
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Hier das Problem:
Zu zeigen ist, daß es keine ganzen Zahlen a,b,c gibt, die der Gleichung a^n + b^n = c^n mit n>2
genügen...
Wie läßt sich der 'Große Fermat' für n=3 und n=4
beweisen (eilt nicht) ??? |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 13:48: |
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Für 3 wirds kompliziert, für 4 ist es nicht so schwer:
n=4:
Lemma: x²+y²=z² mit ggT(x,y,z)=1 und x ungerade
=> Es existieren m,n, sodass
x=m²-n²,y=2mn, z=m²+n²
[m,n sind dabei gezwungenermaßen teilfremd;
außerdem muss y gerade sein, denn wäre y ungerade ist die Gleichung mod 4 nicht erfüllt!]
Der Beweis erfolgt durch Widerspruch mit Hilfe der existenz einer minimalen Lösung.
angenommen es gäbe eine solche minimale Lösung (a,b,c) E IN³\{0}, d.h. a*b*c sei minimal, mit a^4+b^4=c², dann wäre (ggT(a,b,c)=1, a ungerade)
a²=m²-n², b²=2mn, c=m²+n²
also: a²+n²=m²
da ggT(a,n,m)=1 [wegen ggT(m,n)=1 und a ungerade ], gilt:
a = u²-v², n=2uv, m=u²+v²; ggT(u,v)=1
damit gilt:
b²=2mn=2*2uv*(u²+v²);
Da nun u,v teilerfremd, müssen u,v und u²+v² Quadratzahlen sein.
also: u = r²; v = s²; u²+v² = t²;
damit gilt:
(r²)²+(s²)² = u² + v² = t²;
also: r^4+s^4 = t²;
aber: r*s*t<a*b*c, denn
(r*s*t)²=u*v*(u²+v²);
(a*b*c)²=((m²-n²)(m²+m²)2mn)²=
=4(m^4-n^4)²(u²+v²)²*4u²*v²> u*v*(u²+v²);
also ein Widerspruch zur Minimalität ist gezeigt.
da nun die Gleichung a^4+b^4=c² keine Lösung hat, kann auch eine Gleichung p^4+q^4=d^4 mit (p,q,d) E Z³\{0} keine haben, denn (d²)²=d^4 und
p^4=(-p)^4 ,q^4=(-q)^4 und d^4=(-d)^4. |
pentium_mmx
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 14:18: |
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man kann auch mal ein bischen programmieren und sehen, was dabei herauskommt:
10n=50:k=3
20for a=1 to n-1:for b=a+1 to n
30c=a^k+b^k:c=c^(1/k):if c=int(c) then 40 else 50
40print a;b;c
50next b:next a |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 00:08: |
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Hallo Pentium,
auch mit einem Pentium MMMMMMMMMMMX kommst Du mit diesem Programm hier nicht das kleinste Stück voran. Denn Du kannst so nur endlich viele Zahlen prüfen, es könnte aber Lösungen ganz weit draußen geben. Wenn Du einen Computer-Beweis erbringen willst, was evtl. möglich wäre (siehe 4-Farbenproblem), mußt Du schon schärfere Geschütze beim Programmieren auffahren. |
Lars Weiser
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 15:09: |
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Und zudem auch noch in GW-BASIC !!! |
Carmichael (Carmichael)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Februar, 2001 - 15:47: |
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Jetzt macht ihn nicht so fertig! Er hat sich
immerhin bemüht, ein Programm dafür zu schreiben;
auch wenn es in diesem Fall nicht allzuviel bringt. Dass er nach Lösungen sucht zeigt jedoch, dass er ein Interesse daran hat und das seh ich positiv. Ob das GW-Basic oder C++ oder Assembler oder was auch immer ist, ist hier nicht so wichtig.
Frag mal rum, wer überhaupt eine Programmiersprache kann! |
Roberto Neumann (Ceagle)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Mai, 2001 - 01:56: |
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Huhu!
Ehmmm, auch wenns schon ein paar Monate zu spaet ist... Stichwort Andrew Wiles: Hat der nicht ´93 bewiesen, dass es fuer KEIN a^n + b^n = c^n mit n>2 eine ganzzahlige Loesung gibt?!
Btw, wenn einer von euch zufaellig mal den 130 Seiten langen Beweis in die Finger bekommt: imma her damit 
Bis denn, c-eAGLE |
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