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TJ
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 10:14: | 
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Hallo!
Es wäre toll, wenn ihr mir diese Aufgabe lösen könnt...
Bestimmen Sie alle a,ß element R, für die folgende Integrale exitstieren und berechnen Sie bei den letzten beiden auch deren Wert
1.) Integral 0 bis unendlich (1 - e^-x) / (x^a) dx
2.) Integral 0 bis unendlich (e^-ax) cos ßx dx
3.) Integral e bis unendlich 1 / x (ln x)^a dx |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Februar, 2001 - 15:43: |
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Hi TJ ,
Ich beginne mit dem letzten Integral, in der Meinung,
dass Andere aus dem Team der Aufgabenlöser den Rest
besorgen möchten, wobei es sich ganz und gar nicht um
einen schäbigen Rest handelt.
3) Wir ermitteln zuerst das unbestimmte Integral
J = int [1 / {x * (ln x) ^ a} * dx ] .
Für die folgenden Berechnungen setzen wir voraus,
dass a von 1 verschieden ist.
Durch die Substitution ln x = z , dx / x = dz
erhalten wir :
J = int [ dz / z ^ a ] = - 1 / (a-1) * z ^ (- a + 1 );
Substitution rückgängig gemacht:
J = - 1 / ( a - 1 ) * ( ln x ) ^ (- a + 1)
= - 1 / ( a - 1 ) * 1 / [ ( ln x ) ^ ( a - 1 ) ]
Das gegebene uneigentliche Integral existiert nur unter
der einschränkenden Voraussetzung, dass a > 1 gilt.
Dann erhalten wir durch Einsetzen der Grenzen ohne Probleme:
für den Wert Z des Integrals:
Z = J(unendl) - J(e) = 0 - {- 1 / (a-1 ) } = 1 / (a-1)
als Schlussresultat.
Mit ferundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 13:40: |
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Hi TJ,
Bei Deinen Beispielen handelt es sich um Integrale,
deren Integrationsintervalle unendlich lang sind..
Solche Integrale heissen uneigentliche Integrale
zweiter Gattung
(im Titel zu Deinen Fragen steht fälschlich
"Existenz unbestimmter Integrale").
Nun gilt für solche Integrale das folgende
Konvergenzkriterium:
Gilt für den Integranden f(x) des uneigentlichen Integrals
int [ f(x) * dx ], untere Grenze a , obere Grenze unendlich,
von einer gewissen Stelle x = xo an eine Abschätzung
der folgenden Art:
Absolutbetrag von f(x) < = C / x ^ k mit k > 1 und für
alle x > = xo, so besitzt das uneigentliche Integral
einen endlichen Wert, d.h. der Grenzwert für M gegen
unendlich von int [f(x) * dx], untere Grenze a ,
obere Grenze M, existiert.
Bei Deiner ersten Teilaufgabe ist die Bedingung des Kriteriums
für den Exponenten a >1 erfüllt.
Weil für alle x aus dem Integrationintervall
1 - e ^ ( - x ) < = 1 gilt, kann beim Kriterium
die Konstante C = 1 gewählt werden .
Wir haben damit die Existenz des Integrals für a >1 nachgewiesen.
Eine exakte Berechnung des Integrals ist nicht möglich, da
es für das Integral keinen geschlossenen Term mit den gängigen
Funktionen gibt, was vom Aufgabensteller auch berücksichtigt wurde,
Ich bin gerne bereit, auf ausdrücklichen Wunsch , Dir auch das zweite
Beispiel vorzurechnen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 19:03: |
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Hallo TJ,
Na wir wollen H.R.Moser,megamath. mal entlasten und das zweite Beispiel in Angriff nehmen:
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 20:01: |
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Hallo Fern,
Verbindlichen Dank für Deine Mühewaltung !
Ich habe dasselbe Resultat in petto.
Mit freundlichen Grüssen,
H.R.Moser. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 10:59: |
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Darf ich mich dem illustren Hilfsverein anschliessen ?
Sei
f(x) := (1 - e^(-x))*x^(-a)
Wir mŸssen f(x)
a) fŸr x->0 b)fŸr x-> oo
untersuchen.
a) 1 - e^(-x) = x + O(x^2) (O : Landau - O)
==> f(x) = x^(1-a) + O(x^(2-a)) fŸr x->0.
int[0..1]f(x)dx existiert also g.d.w. a < 2
b) 1 - e^-(x) = O(1) ==> f(x) = O(x^(-a))
fŸr x -> oo.
int[1..oo]f(x)dx existiert also g.d.w. 1 < a.
Demnach existiert int[0..oo]f(x)dx g.d.w.
1 < a < 2
Gruss
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Februar, 2001 - 13:12: |
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Hi Hans,
Es geht hier um Existenzfragen !!
Zum einen um den illustren Kreis ,
zum andern um uneigentliche Integrale
erster und zweiter Gattung.
Zum ersten Punkt.
Wenn es den illustren Kreis gäbe, müssten wir Dich
sofort in diesen Kreis aufnehmen
Du hast die erste Aufgabe in ihrer ganzen Problematik
erfasst und brillant gelöst.
Zum zweiten Punkt
Bei meiner Lösung der ersten Aufgabe habe ich mich
auf das Verhalten des Integrals im Unendlichen konzentriert
Die untere Grenze müsste in diesen Betrachtungen positiv sein,
ist die untere Grenze jedoch null, so haben wir es zusätzlich
mit einem uneigentlichen Integral erster Gattung zu tun.
Mit Maple errechnet man für die unteren Grenze 1 für a = 3
den Näherungswert 0.39030803.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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