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Marcus
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 16:35: | 
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Hallo, eigentlich passt meine Frage (je nach Induktionsgrad) am besten in die Algebra: warum ist b^a ungleich a^b, wenn a ungleich b - oder anders audgedrückt: Warum ist in der Folge der Rechenoperationen vom 3.Glied an (1.Glied: Addition; 2.Glied: Multiplikation; 3.Glied Potenzieren) das Kommutativgesetz nicht mehr gültig (wobei der Beweis für alle Glieder größer als 3 noch ausbleibt)?
Danke im voraus für eure Hilfe,
Marcus. |
golo
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 17:19: |
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Hallo Marcus,
Siehe auch die Frage bei
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/11345.html?981995248 |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Februar, 2001 - 19:14: |
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Hallo Marcus
Zunächst muss ich mal was an golo loswerden: Hast Du ja echt toll gemacht, der Kreislink war das tollste Erlebnis meines Lebens...
Nun zum eigentlichen Thema:
Du hast Dein Thema sowohl in 11-13 als auch in Uniniveau gestellt, jetzt weiss ich nicht so ganz, von welchem Abstraktionsniveau ich ausgehen kann, ich versuche mal einen Mittelweg zu finden. Wenn es Dich interessiert, dann frag gern nochmal nach.
Fangen wir mal mit der Adition an. Die muss kommutativ sein, wenn wir beide Distributivgesetze verlangen, d.h a(b+c)=ab+ac und (a+b)c=ac+bc, denn dann folgt:
(a+b)*(1+1)=(a+b)+(a+b)
aber auch (a+a)+(b+b)
also (Klammern können wir ja wg Assoziativität weglassen):
a+b+a+b=a+a+b+b
Wenn wir nun von links a abziehen, und von rechts b abziehen, erhalten wir b+a=a+b.
Bei der Multiplikation ist es schon nicht ganz so einfach, es gibt nämlich auch Körper, die nicht kommutativ (Ich kann Dir ein Beispiel nur angeben, wenn Du komplexe Zahlen und Matrizen kennst). Nur bei den endlichen lässt sich allein aus der Definition folgern, dass sie schon kommutatv sind.
Eine andere Möglichkeit Multiplikation in einer additiv geschrieben Gruppe zu definieren ist, für a ganze Zahl, g aus der Gruppe:
a*g=g+...+g (a mal) falls a natürliche Zahl,
0*g=0 (Das sind zwei verschiedene Nullen. Auf der linken die ganze Zahl 0, auf der rechten das neutrale Element der Gruppe)
a*g=-((-a)*g) falls a negativ (das äußere Minus bedeutet das bilden der inversen)
Diese Multiplikation erfüllt aber nur dann vernünftige Forderungen (z.B. Distributivgesetz), wenn die Gruppe abelsch war. Und nu kommt das Problem, dass das eine aüßere Verknüpfung ist, daher lässt sich nicht so recht von Kommutativität reden, da man ja nicht wirklich die Argumente vertauschen kann.
Aber kehren wir nun zur Ausgangsfrage zurück: Nehmen wir jetzt mal einfach an, wir hätten einen kommutatven Körper. Wir wollen eine Art Potenzrechnung einführen, und schauen, was passiert. Wiederum könnten wir einen ganzzahligen Exponenten nehmen, mit ganz analoger Definition, allerdings auf die Multiplikation, nicht auf die Addition. Da kriegen wir es aber wiederum nicht so richtig hin, von Kommutativität zu reden, also versuchen wir es mal anders: Wir suchen also eine Vernüpfung a^b, die mit der Multiplikation verträglich ist, wie wir das gewohnt sind. Da drängt sich aber schon die Frage auf, was wir überhaupt verlangen dürfen, denn schon die Rechenregel a^(-b)=1/(a^b) würde zwangsläufig bedeuten, dass wir für a nicht 0 nehmen dürfen. Aber schon andere Forderungen würden, was die Kommutativität verletzen, denn wir möchten doch sicherlich a^1=a und 1^a=1 haben, (mal vrausgesetzt, wir haben jetzt mal die 0 völlig von unseren Betrachtungen ausgeschlossen) aber wenn der Körper mehr als 2 Elemente hat, geht das schon schief, das sind aber alle bis auf einen.
Also müssten wir uns von dieser unseren bekannten Potenzrechengesetzen entsprechenden Betrachtung lösen, um Kommutativität zu erreichen. Ich hab auch schon ein paar Ideen, aber leider heute keine Zeit mehr.
Wenn von Deiner Seite noch Interesse besteht (oder von jemand anders, Ich würde mich sehr über Diskussionen zu diesem Thema, auf welches ich mich hoffentlich spezialisieren werde, freuen), meld Dich
viele Grüße
SpockGeiger |
ohamann
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 11:18: |
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Hallo!
Ich suche ein Verknüpfungsgebilde,in dem die Verknüpfung nicht kommutativ, aber assoziativ ist.
Danke für die Mühe.... |
Jan
| | Veröffentlicht am Montag, den 23. April, 2001 - 15:20: |
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Hallo ohamann,
Bitte für neue Fragen einen neuen Beitrag öffnen! |
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