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Martin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 19:57: | 
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Ich hatte vor einiger Zeit einen Beweis für folgende Aufgabe durchgeführt, aber er war ziemlich lang und kompliziert. Gibt es einen eifacheren Beweis?
Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC.
Über den Seitenkanten errichtet man nach außen jeweils ein gleichseitiges Dreieck und verbindet den dritten Eckpunkt der gleichseitigen Dreiecke jeweils mit der gegenüberliegenden Ecke im ursprünglichem Dreieck. Man soll nun beweisen:
a) Die Verbindungslinien schneiden sich in einem Punkt.
b)Die Verbindungslinien schließen jeweils einen Winkel von 60° ein.
Viele Grüße,
Martin |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 09:36: |
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Hi Martin,
Der gemeinsame Schnittpunkt, den Du in Deiner
Aufgabe erwähnst, ist der sogenannte Fermat-Punkt
des Dreiecks ABC.
Dieser Punkt tritt auf , wenn man eine von
Pierre Fermat (1601-1665) gestellte Extremalaufgabe löst.
Diese lautet
Man bestimme im Inneren eines spitzwinkligen Dreiecks ABC
einen Punkt P ( wie Pierre) so, dass die Summe seiner Abstände
Von A,B,C minimal wird.
Es zeigt sich, dass die Voraussetzung, dass das Dreieck lauter
spitze Winkel hat, durch die schwächere ersetzt werden kann:
dass kein Dreieckswinkel grösser als 120° ist .
Die von Dir aufgeworfenen Fragen sind mit diesem Satz eng
verbunden, und die Antworten darauf ergeben sich sozusagen
en passant.
Für den Satz selbst gibt es gibt mehrere Beweismethoden.
In einem ersten Teil zeige ich Dir einen besonders eleganten
Beweis von J.E.Hofmann (Zeitschrift MNU) aus dem Jahr 1929.
Bei diesem Beweis werden bloss Methoden der elementaren
Planimetrie eingesetzt.
In einem zweiten Teil führe ich den klassischen Beweis vor ,
in welchem Differentialrechnung eingesetzt wird.
(Benützung von Funktionen mit mehrerer Variablen).
Das Thema ist ausserordentlich anregend und führt zuweilen
auf überraschende Ergebnisse.
Es hat im Laufe der Zeit auch Hobby-Mathematiker
beschäftigt wie das folgende Beispiel zeigt:
Die Umkreise der von Dir genannten gleichseitigen Dreiecke
gehen alle durch P und ihre Mittelpunkte bilden selbst ein
gleichseitiges Dreieck.(dieser Satz wird Napoleon zugeschrieben).
Es empfiehlt sich sehr , zu den folgenden Ausführungen
Schritt für Schritt Figuren zu entwerfen !
1.Teil : Elementare Lösung des Minimalproblems
Wir wählen zunächst den Punkt P BELIEBIG im Inneren
des Dreiecks ABC und verbinden ihn durch Strecken mit A, B C.
Sodann drehen wir das Dreieck APB um 60°, Drehzentrum ist der
Punkt B , Drehwinkel (wie gesagt) 60°.
Das gedrehte Dreieck ist das Dreieck C ' P ' B ( C ' aus C, P ' aus P ).
Die Dreiecke ABC ' und PBP ' sind gleichseitig und es gilt:
PA + PB +PC = P ' C ' + P ' P + P C.
Der Streckenzug der rechten Seite dieser Gleichheit ist im
allgemeinen ein gebrochener Zug von C nach C'
Er stellt dann die kürzeste Verbindung zwischen C' und C dar,
wenn er GRADLINIG verläuft, d.h. wenn die folgende Bedingungen
erfüllt sind:
Winkel (BPC) = 180° - Winkel (BPP ') = 120°
und
Winkel(APB)=Winkel (C ' P ' B) = 180° - Winkel (P P ' B) = 120°
(Bei den Winkelbezeichnungen steht der Scheitelpunkt in der Mitte
der drei Buchstaben).
Der gesuchte Punkt, welcher das Minimum der Streckensumme liefert,
ist daher derjenige Punkt , von dem aus die Dreiecksseiten AB,BC,CA
alle unter dem Winkel 120° gesehen werden.
P ergibt sich somit als Schnittpunkt von Fasskreisbögen mit dem
zugehörigen Peripheriewinkel 120° über den einzelnen Dreiecksseiten.
Nach unserer Analysisfigur erhält man den Fermatpunkt P aber auch
als (zweiten) Schnittpunkt der Geraden CC ' mit dem Umkreis des
gleichseitigen Dreiecks ABC ' .
Wir hätten analog je mit dem gleichseitigen Dreieck über der Seite AC
oder über BC operieren können statt über AB.
Jedesmal erhalten wir eine der Geraden CC ' entsprechende Gerade AA',
oder BB', welche durch den Fermatpunkt geht.
Wir stellen weiter fest:
Die Strecken AA' , BB' , CC' sind alle gleich lang und bilden je den Winkel
60° ;die gemeinsame Länge stimmt mit der Summe PA+PB+PC überein.
Der erste Teil ist damit beendet.
Auf ausdrücklichen Wunsch führe ich Dir auch einen rechnerischen
Beweis vor, der jedoch etwas komplizierter ist
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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