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Martin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 19:41: | 
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Ich habe ein kleines Problem mit meinem Taschenrechner. Es ist ein TI-83 und er schafft es tatsächlich, Die Fakultät von halben ganzen Zahlen auszurechnen:
(-1/2)!=1.772453851 (=Öp)
(1/2)!=0.8862269255
usw.
Die Fakultät der anderen halben ganzen Zahlen berechnet er mit dem Gesetz (n+1)!=n!*(n+1)
Wie kommt der Taschenrechner auf das Ergebnis? Ist das ein Rechenfehler, ein ungeeigneter Algorithmus oder hat das jemand so definiert?
Viele Grüße,
Martin |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 22:31: |
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Hallo Martin,
Die Fakultät ist für alle reellen Zahlen x wie folgt definiert:
x! = G(x+1)
wobei G die sogenannte Gamma-Funktion ist.
Dies ergibt für ganzzahlige x: x! = 1*2*3.......x
Es ist dann für x=0: x!=1
Für ganzahlige, negative x: x!= ± oo
Definition der Gamma Funktion:
G(x) = ò e-t*tx-1dt wobei das Integral in den Grenzen von 0 bis Unendlich zu nehmen ist. (gilt für x>0)
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Ich nehme an, dein Taschenrechner kann Fakultäten für reelle Zahlen rechnen und nicht nur für halbe ganze Zahlen.
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Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 22:34: |
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Dein Taschenrechner berechnet die Gauß'sche Gammafunktion G(x) oder vielmehr G(x+1).
G(x) = ò0 oo e-ttx-1dt für x > 0.
bzw.
G(x) = limn->oon! nx-1 / [x(x+1)(x+2)...(x+n-1)] für x nicht aus {0,-1,-2,-3,...}
Es ist
G(n) = (n-1)! für natürliches n
G(x+1) = xG(x)
G(-1/2) = -2Öp
G(1/2) = Öp |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 22:36: |
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Da war Fern drei Minuten schneller ;-) |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 23:07: |
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Hallo
Das ist eine Verallgemeinerung der Fakultät. Das ist recht typisch für Mathematiker. Zur Veranschaulichung: Das Potenzieren mit ganzen Zahlen ist logisch. Dann erweitert man das durch rationale Zahlen. Aber spätestens für reelle y verliert ein Ausdruck der Form x^y irgendwie seine Anschauligkeit. Man definiert aber den Wert durch die stetige (sogar beliebig oft stetig differenzierbare) Fortsetzung.
So ähnlich hat man das mit der Fakultät gemacht. jemand hat die Funktion G(x)=ò0 ¥tx-1e-tdt für x>0 definiert.
Per Induktion kann man zeigen, dass für natürliche n gilt: G(n+1)=n! Das mutet erstmal komisch an, da man mit einer einfachen Änderung der Definition (Im Integral x statt x-1) das kanonische G(n)=n! erreichen könnte, aber ich denke, die Definition liegt am Definitionsbereich, oder an viel tieferen mathematischen Sachverhalten. Dein Taschenrechner rechnet jedenfalls für x! G(x+1) aus.
Für die Fakultät ist bezeichnend, dass n!=n*(n-1)!
Da die Gamma-Funktion um eine Stelle verschoben ist, ist G(x+1)=x*G(x)
Für negative x, die nicht ganzzahlig sind, setzt man diese Funktion mit dieser Rekursionsformel fort.
Es gibt viele Untersuchungen dieser Funktion, sie spielt in einigen Bereichen der Funktionentheorie eine wichtige Rolle, unter anderem hat Euler folgende Formel herausgefunden:
x nicht ganzzahlig, dann: G(x)G(1-x)=p/sin(px)
Das erklärt auch Deinen ersten Wert (Für x 1/2 einsetzen). Rechnet denn Dein Taschenrechner nur für "halbzahlige" die Fakultät aus, oder für beliebige Zahlen?
viele Grüße
SpockGeiger |
Martin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Februar, 2001 - 23:26: |
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Mein Taschenrechner rechnet nur Fakultäten von halben ganzen Zahlen aus. Das ist es ja, was ich so komisch finde.
Viele Grüße,
Martin |
Sebastian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 22:08: |
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Dann sind die wahrscheinlich einfach eingespeichert und er rechnet sie nicht aus. |
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