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Markus Nenniger (Tjori)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 13:39: | 
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Hallo!
In einer Übung waren folgende Fragen gestellt:
a)
Untersuchen sie ob die folgende Funktion im Punkt x[0] = 0 differenzierbar ist, wenn
f(x):=x sin (1/x) wenn x ungleich 0
f(x):=0 wenn x = 0
Gegben sie gegebenenfalls die Ableitung in x[0]=0 an.
b)Untersuchen sie ob die folgende Funktion in jedem Punkt x[0] aus R diffbar ist, wenn
f(x):= x² sin (1/x) für x ungleich 0
f(x):= 0 für x=0
das Ergebnis war, dass a) nicht in 0 diffbar war, aufgrund eines Beweises, den ich überhaupt nicht verstehe, der aber irgendetwas damit zu tun hatte, das die Funktion nicht definiert war. b) war differenzierbar in R, da alle Teile von b) (x², sin x, 1/x) diffbar sind. und zwar in ganz R, also auch im Punkt x[0] = 0. Das gleiche könnte man doch mit a) machen, da sowohl x, sin x als auch 1/x in R (also auch in 0) diffbar sind...
Wo liegt denn nun mein Denkfehler? Ich verstehe nicht, dass die Funktion in 0 nicht definiert sein soll, da ja beide male für x = 0 der Wert 0 definiert ist...
ein verwirrter und dankbarer
Markus |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 17:26: |
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Hallo :
a) Man muss auf die Definition der Differenzierbarkeit zurŸckgehen:
f heisst differenzierbar bei x = a , wenn der Grenzwert des zugehoerigen Differenzenquotienten, also
lim [h->0] (f(a+h)-f(a))/h
existiert. In unserem Fall ist a=0 und nach
Definition von f : f(a) = f(0) = 0, der Differenzenquotient lautet also
h*sin(1/h)/h = sin(1/h) , h <> 0
Die Frage ist also,ob lim[h->0]sin(1/h) existiert.
Die Antwort heisst : nein. Um das einzusehen, setzen wir fŸr die Variable h verschiedene Testfolgen ein : Durchlaeuft h zunaechst die fŸr n->oo gegen 0 konvergierende Folge der Werte
h_n := 1/(n*pi),
so erhalten wir die konstante Folge
sin(1/h_n) = sin(n*pi) = 0 , n = 1,2,3,...
und deren Limes fŸr n->oo ist offenbar = 0. Waehlen wir dagegen z.B. die Testfolge
h_n := 2/((4n+1)*pi),
so kommt die konstante Folge
sin(1/h_n) = sin((1/2 + 2n)*pi) = 1 , n =0,1,2,...
heraus. Daraus folgt, dass der fragliche Grenzwert
nicht existiert.
b) Ist f(x) := x^2*sin(1/x) fŸr x <> 0 , f(0):= 0,
so ist der Differenzenquotient
h*sin(1/h) , h <> 0 .
Nun gilt aber stets |sin(x)| =< 1 , also
|h*sin(1/h)| =< |h|,
und dies strebt fŸr h->0 trivialerweise gegen Null. Folglich gilt
lim[h->0]h*sin(1/h) = 0,
d.h. f ist bei 0 differenzierbar, und der Wert der
Ableitung ist f'(0) = 0.
Alles klar ?
Gruss
Hans |
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