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Beitrag |
    
Grasmo (Grasmo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 20:32: | 
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Hy!
Brauch drigend einge Punkte fuer einen Schein...
1.) sei f:[0,1] --> [0,1] element R mit der Eigenschaft, dass es fuer alle n element N nur endlich viele x element [0,1] gibt mit f(x) > 1/n. Zeige f ist Riemann-integrierbar und integral von 0 bis 1 über f(x)dx = 0.
2.)
Bestimme die maximalen Definitionsbereiche der aus den folgenden Termen ableitbaren reellen Funktionen und bestimme die Ableitungsfunktion.
a) |a*a*a|
b) x*2^x
c) sqr(x+sqr(x))
d) (sqr(1+x) - 1)/x
Vielen Dank!
(kleine Umfrage anbei fuer die Baumeisterer: wer hat den schein den schon? wer gehoert zu jenen 15%-20%???) |
Lorand Bruhacs
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 18:45: |
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1. Meine Loesungskizze sieht so aus:
Definieren wir Mengen F_k mit F_k = {f:[0,1] --> [0,1] | für k e N gibt es nur endlich viele x e [0,1] mit f(x) > 1/k}.
Wir haben also F_1, wo die f nur endlich viele Werte > 1 haben duerfen, die Menge F_2 (f hat nur endlich viele Werte > 1/2), F_3 usw für alle k e N.
Die f e F_k sind integrierbar. Wenn wir naemlich so ein f nehmen und den Definitionsbereich auf D{p_1, ..., p_n} einschraenken (wobei die p_1 bis p_n die x sind, fuer die f(x) > 1/k), dann ist die eingeschraenkte Funktion f auf [0,1] durch 1/k beschraenkt: also integrierbar. Der Rest der Funktion, naemlich {f(p_1), ..., f(p_k)}
ist ebenfalls integrierbar (mit Integralen jeweils vom Wert Null). Also ist f immer integrierbar.
Jetzt definieren wir uns die Menge F = Schnittmenge aller F_k. Es ist leicht zu sehen, dass diese Menge der geforderten Eigenschaft aus der Aufgabenstellung entspricht. Somit haben wir gezeigt, dass f Riemann-integrierbar ist.
Zu zeigen ist noch, dass das Integral von f Null ist. Die Integrale aller f e F_k kann man mit 1/k
abschaetzen. Die Folge 1/k konvergiert gegen Null.
Da wir nur Funktionen f:[0,1] --> [0,1] betrachten, kann es keine negativen Integralwerte hier geben. 0 ist also eine groesste untere Schranke fuer das Integral, denn gaebe es eine
solche Schranke s > 0, koennte man ein k finden, so dass 1/k < s. Somit ist klar, dass Integral
f(x)dx den Wert Null hat: f ist in allen F_k enthalten und somit durch 1/k fuer alle k beschraenkt - kleiner als Null kann das Integral aber nicht werden. QED.
Hope that helps...
- Lorand |
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