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Beitrag |
    
LiBaQu
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 16:06: | 
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Brauche mal wieder Hilfe:
Es seien V=C^3 mit Standartbasis S und Standartskalarprodukt gegeben sowie § aus End(V) mit
.......................(3 -1 -sqrt(6))
A=Ds(§)=(1/4)*(-1 3 -sqrt(6)) aus C^3x3
.......................(sqrt(6) sqrt(6) 2)
a) Zeigen Sie, daß § eine Isometrie ist.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte von §.
c) Berechnen Sie eine unitäre Matrix mit Ûtr A U = Diag(a1,a2,a3) mit ai aus C.
Bin für jede Antwort dankbar.
P.S.: Ûtr A U soll heißen: Ûtr ist ein U mit Strich drüber und tr für transponiert, und das dann mit A und dann mit U multipliziert.
Hoffe die Matrix kann man lesen!! |
baby
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 23:35: |
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Ganz ehrlich, die Matrix ist Sch***e!
Ich versuche es trotzdem, hoffe, daß meine Tips
nicht falsch sind. {ist schon etwas länger her}
a) § ist Isometrie, genau dann, wenn § adiungiert mit § verknüpft die identische Abbildung ergibt,
in Formel: §^ad * § = id
Weiterhin gilt für eine Matrix:
Â^tr (§) = A(§^ad)
In Worten: Die konjugiert komplexe, transponierte Matrix bezüglich der Abbildung § ist der Matrix bezüglich der adjungierten Abbildung gleich.
Na ja, ich glaube, daß Du eigentlich nur die gegebene Matrix transponieren und komplex konjugieren mußt (da es ohnehin eine reelle Matrix ist fällt die Konjugation weg), und die dann mit der Ausgangsmatrix multiplizieren mußt. Dann sollte eigentlich die Einheitsmatrix (Entspricht dem id bei den Abbildungen) herauskommen.
Ooops, meine Mama ist gerade nach Hause gekommen.
Ich muß morgen in die Schule, die wird Schweine-böse, wenn sie mich so spät noch vor dem PC erwischt. Cchhrr! |
baby
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 23:58: |
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Hier ist noch mal baby,
zur b)
Mein Taschenrechner sagt, daß da drei Zahlen raus kommen, zwei davon sind ein wenig komplex.
Hast Du schon mal etwas von dem charakteristischen Polynom gehört? Ich hoffe schon, ansonsten mußt Du noch mal um Hilfe rufen.
Also hp(x)=det(x*E-A)
in diesem Fall: (x-1) (x^2-x+1)
Also sind die Eigenwerte 1, und die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung.
-> Spektrum(§)=(1, 1/2+i*sqrt(3/4), 1/2-i*
sqrt(3/4)
So etwas wie c) hab ich mir noch nicht angeeignet.
Grüße von baby |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 07:47: |
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Hallo :
Eine schoenere Drehmatrix gibt's beinahe nicht !
Zunaechst sieht man unmittelbar, dass die Spalten-
vektoren von A paarweise orthogonal sind und die
Norm 1 haben. Also haben wir eine Isometrie.Die
charakteristische Gleichung lautet (nachrechnen !)
t^3 - 8 t^2 + 32 t - 64 = 0,
die Eigenwerte sind (Probe !)
t_1 = 1 , t_2 = (1 - sqrt(3)i)/2 = e^(2*pi*i/3),
t_3 = (1 + sqrt(3)i)/2 = e^(-2*pi*i/3)
Der Vektor (-1,1,0)^T ist Eigenvektor zu t_1 und
somit die erste Spalte von U, A beschreibt also eine Drehung um diese Achse. Rechne den Rest bitte selbst.
Hans |
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