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maezen (Maezen)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 10:25: | 
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Wie beweist man das eine abgeschlossene und beschränkte Menge auch kompakt ist. |
Storch
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 22:13: |
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Wir haben das für eine Teilmenge K von Rn bewiesen:
Sei KcRn kompakt. Dann ist K abgeschlossen in X, da eine konvergente Folge (xn) in K mit xn -> x aus X eine Teilfolge besitzt, die gegen y aus K konvergiert => x=y aus K. f(x):=/x/ ist stetig auf Rn. Daraus folgt noch dem Satz vom Maximum und Minimum auf kompakten, nicht leeren metrischen Räumen, dass es ein x* aus K gibt mit /x/£/x*/ für alle x aus K => K beschränkt.
/x/ soll der Betrag von x sein!
Sei KcRn beschränkt und abgeschlossen. Sei (xn) Folge in K => (xn) beschränkte Folge in Rn. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass folgt, dass es eine Teilfolge von (xn) gibt, die gegen x aus Rn konvergiert, und da K abgeschlossen ist, muss x auch in K liegen => K kompakt.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter. |
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