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anja77 (Anja77)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 09:42: | 
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Hallo bitte hilf mir bei den Integralen von I1=((x+1)*sin2xdx) und I2=(((x^3+1)/(x^4+x^2)! Ich komme einfach nicht dahinter. Bitte aber nicht bloß die Lösung, denn die habe ich schon, doch ich bekomme es nicht dazu hingetrickst! thanx anja77 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 12:33: |
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Hi Anja
Beim ersten Integral verwenden wir die Methode der
partiellen Integration.
Wir gehen dabei davon aus, dass wir das Integral
K= int [ sin (2 x ) * dx ] aus dem Stand integrieren können,
d.h., dass wir nicht von der Substitution 2 x = z Gebrauch
machen wollen; das Resultat ist K = - ½ * cos (2 x).
Wir erhalten I1 als Summe der Integrale
J1=int [x*sin(2x) * dx ] und J2 = int [sin(2x)*dx ] = K.
Das Integral J1 wird partiell integriert,
wobei u = x , v' =sin(2 x) gesetzt werden:
J1= u * v - int [ u ' * v dx] =
= x* {- ½ * cos(2 x )} - [int [- ½ *cos(2x) *dx] =
= - ½ * x * cos(2x) + ½ * int[ cos (2x) * dx =
= - ½ * x * cos(2x) + ¼ * sin (2 x ) + C
C: Integrationskonstante.
Damit wird I1 = J1 - ½ * cos (2x) =
= - ½ * x * cos (2x ) + ¼* sin (2x) - ½ * cos(2x) + C
Beim zweiten Integral kommt man mit der Partialbruchzerlegung
zum Ziel.
Bei Bedarf zeige ich Dir die Methode im Detail.
Bis dann
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 18:33: |
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Hi Anja,
Bei der Lösung Deines zweiten Integrals zerlegen
wir den Integrand f(x) = (x^3 + 1) / [x^2 (x^2 +1)]
in Partialbrüche und zwar so
f(x) = (A x + B) / x ^ 2 + ( C x + D ) / ( x ^ 2 + 1 )
Wenn wir die rechte Seite wieder auf den gemeinsamen
Nenner x^2*(x^2+1) bringen, so steht im Zähler nach
zweckmässigem Zusammenfassen nach Potenzen von x:
( A + C )* x^3 + ( B + D ) * x^2 + Ax + B
Dieser Term muss für alle x - Werte mit dem Zähler
x^3+1 von f(x) übereinstimmen (Koeffizientenvergleich).
Daher müssen die folgenden Gleichungen gelten:
A+C=1 , B + D = 0 , A = 0 , B = 1 .
Daraus: A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = - 1
Also lautet die Partialbruchzerelegung:
f(x) = 1 / x ^ 2 + x 7 ( x ^ 2+1 ) - 1 / (x ^ 2 + 1 ) .
Es ist nun ein Kinderspiel, die Integration auszuführen
Resultat:
I2 = -1/x + ½ * ln(x^2 + 1) - arctan x + k ( k:Integrationskonst.)
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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