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Anne
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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 20:42:   Beitrag drucken

Hier noch ne blöde Aufgabe:

Zeigen Sie, dass

F(x)= 0,5*(Wurzel aus 1+x4) +3

eine Stammfunktion zu

f(x)= x³/(Wurzel 1+x4)

ist!

Logischer Weise hab ich F(x) abgeleitet, um zu sehen ob sie mit f(x) übereinstimmt. Ich hab F'(x) also mit f(x) gleichgesetzt, aber es ergibt sich: x=1
Damit kann ich doch nichts anfangen...
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 21:18:   Beitrag drucken

Willst Du deine Rechnung nicht mal vorfŸhren ?
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Anne
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Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Februar, 2001 - 23:12:   Beitrag drucken

Also, dann mal los:

F(x)=½*(Wurzel 1+x4)+3
=½x²+3½

ableiten:

F'(x)=x

gleichsetzen mit f(x):

x= x³/(Wurzel 1+x4)
x*(Wurzel 1+x4)=x³
x*(1½+x²)=x³
x*1½+x³=x³
x*1½=0

daraus ergibt sich, dass x=0 oder 1½=0

Dass das Quatsch ist, ist klar. Habe festgestellt, dass ich anfangs einen Rechenfehler gemacht habe, sodass ich auf x=1 kam. Dennoch ist die Aufgabe nicht gelöst...
Wo liegt der Fehler? Hab ich mich noch irgendwo verrechnet? Hoffe, ich hab mich nicht zu kurz gefasst.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 07:33:   Beitrag drucken

Autsch! Schon die 2. Formelzeile ist falsch
(Schulalgebra !):
Korrekt muss es heissen :

F(x) = (1/2)sqrt(1+x^4) = (1/2) (1+x^4)^(1/2)

Nach der Kettenregel gilt :

F'(x) = (1/2)*1(2)*(1+x^4)^(-1/2)*4* x^3

= x^3/sqrt(1+x^4).

Good luck

Hans
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 07:48:   Beitrag drucken

Hi Anne,

Zuerst möchte ich Deine Aufgabe selber lösen,
sodann Deinen Lösungsvorschlag unter die Lupe nehmen.
In einem dritten Teil zeige ich Dir eine direkte Methode
zur Ermittlung des Integrals.

I.
Ableitung von F(x) nach x mit der Kettenregel
Vorbemerkung:
Die Ableitung einer Quadratwurzel aus g(x) geht so:
Aus y = wurzel [g(x)] folgt :
y ' = g'(x) / ( 2* wurzel[g(x)] )

Bei Deinem Beispiel kommt mit g(x) = 1 + x ^ 4:
F ' (x) = 0.5 * 4 x^3 / (2*wurzel [1+ x^4] = x^3 / wurzel(1+x^4),
wie es sein muss.

II
Bei Deiner Lösung findet sich ein Fehler bei der Ableitung von F(x)
F ' (x) ist nicht gleich x.
Ich würde auch nicht zu Beginn eine Gleichheit ansetzen,
sondern schlicht und einfach F ' (x) berechnen wie unter (I)..

(III)
Wenn man die Methode der Substitution kennt,
kann das Integral direkt berechnet werden, nämlich
folgendermassen:
Wir substituieren 1 + x^4 = z ;Ableitung nach x:
dz/dx = 4 * x^3 , also gilt für die Differentiale dx und dz:
4 * x^3 * dx = dz. Aus dem Integral
int [ f(x) * dx] wird :
int [ ¼ * 4*x^3 * dx / wurzel (z) ] = int [ ¼ * dz/wurzel(z)]
= ¼ * 2 * wurzel (z) : macht man die Substitution rückgängig,
d.h. ersetzt man z durch (1 + x^4), so erhält man tatsächlich F(x)
Die drei ist eine willkürlich gewählte Integrationskonstante.

Damit haben wir Deine Aufgabe nach allen Regeln
der Kunst ausgekostet und wie eine Zitrone ausgepresst.
Das ist gut so; es bleibt dabei hoffentlich immer etwas hängen.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Anne
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 15:35:   Beitrag drucken

Huch! Stimmt ja - Kettenregel! Nicht das erste Mal, dass ich die nicht beachtet habe...

Aber, Hans (Birdsong), muss es dann nicht heißen: F'(x)=(1/2)*(1/2)*... anstatt F'(x)=(1/2)*1(2)*...? Evtl. ein Tippfehler?

H.R.Moser,megamath: Woher ist denn die Formel aus I.? Da wär ich nie drauf gekommen und mein gutes, altes Tafelwerk gibt die auch nicht her.
Außerdem komm ich nicht auf die x³/(Wurzel 1+x^4) wenn ich sie anwende, sondern auf 2x³/(Wurzel 1+x^4). Was mach ich denn da falsch?
Die Substitution (in der Mathematik) ist ja nicht gerade mein Fall. Das werd ich mir nochmal anschauen. Da kommt vielleicht noch mal ne Frage...

Danke für eure Hilfe,

manga hälsningar av Anne
(protz ich halt mit meinem Schwedisch, damit ich nicht ganz so doof dastehe;))
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Anne
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 16:24:   Beitrag drucken

Nee, das wird nichts. Kann mir jemand bitte noch mal die Substitution erklären. (Bsp.) Ich steig nicht hinter(auch nicht beim oben genannten Beispiel).

?Anne?
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 17:15:   Beitrag drucken

Hi Anne,

Nochmals zur Ableitung einer Quadratwurzel,
deren Radikand eine gegebene Funktion in x ist.
Man schreibt die Wurzel als Potenz mit dem
gebrochenen Exponent ½, wendet die Potenzregel
an :Exponent um eins verkleinern führt auf den
negativen Exponent - ½ ,daher erscheint nach dem
Ableiten die Wurzel im Nenner.
NB Kettenregel:
Der Faktor g'(x) ist die Ableitung der inneren
Funktion g(x) ,die äussere Funktion ist die Wurzelfunktion.
Es lohnt sich, sich diesen Sachverhalt zu merken ,also :
y = wurzel [g(x)] = { g(x) } ^ ½
Ableitung:
y ' = ½ * {g(x) } ^ (- ½ ) * g' (x) = ½ * 1 / [g(x) ^ ½ ] * g'(x)
Kurzum:
y ' = g' (x) / [ 2 * wurzel (g(x) ] .

Wendest Du das soeben gelernte auf F(x) an ,so kommt
das erwartete Resultat heraus.
Beachte, dass am Anfang bei F(x) noch der Faktor ½ steht,
den man beim Ableiten vergessen könnte.

Hoffentlich habe ich alle Zweifel ausräumen können

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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Anne
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 17:31:   Beitrag drucken

Abend!

Die Kettenregel ist mir klar, aber wie war das mit meiner Vergesslichkeit? Selbstverständlich habe ich 1/2 vergessen!
Da lag also der Hund begraben. Typisch!

und wiedermal recht herzlichen Dank...

Anne
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Februar, 2001 - 10:28:   Beitrag drucken

NatŸrlich Tippfehler, sorry.

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