| Autor |
Beitrag |
    
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 16:41: | 
|
Wie berechne ich die Nullstellen eines allgemeinen Polynoms 4. Grades (ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)?
Ich weiß, dass es dafür eine Formel gibt aber in meinen gesammelten Mathewerken finde ich sie nicht.
Hat jemand einen Link, ein Buch oder vielleicht sogar eine Erklärung für mich?
Die Nullstellen dürfen natürlich auch komplex sein |
Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 17:36: |
|
Hi Jan
Ich finde grad leider auch keinen passenden Link, aber vielleicht könnte dir der Name Ferrari weiterhelfen(falls du den nicht schon kanntest). Von dem stammt eine Lösungsformel.
MfG
C. Schmidt |
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 18:51: |
|
Hi Jan,
was ist den daran so schwer?
such mal im Archiv in der Klassenstufe 8-10 nach "biquadratische Gleichungen" und schau dir mal alle 3 Exkursseiten an!
Leider bin ich ab Montag für 2 Wochen im Urlaub sonst würde ich dir alles in aller Ausführlichkeit erklären.
Gruß N.
|
Walter H. (mainziman)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 20:55: |
|
Hi Jan,
Gleichungen 4ten Grades löst man über eine Kubische Resolvente;
Die Lösungen dieser Kubischen Gleichung ergeben dann jeweils kombiniert die Lösungen der Gleichung 4ten Grades.
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirrt *ggg*
|
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 85
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 20:57: |
|
Hi jan,
hier schnell das Kochrezept für "biquadratische Gleichungen" der Form:
ax4+bx³+cx²+dx+e=0
-mit 4a durchmultiplizieren
-3. und 4. Potenz isolieren
-biquadratisch ergänzen
-"perfect square" schaffen (kubische Resolvente)
-beide seiten quadratwurzel ziehen
-2 quadratische Gleichungen Lösen
Gruß N.
|
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Juli, 2002 - 23:08: |
|
@N.
Irgendwie bezweifle ich das sowas in der 8.-10. Klasse gemacht wird, wir haben das jedenfalls nicht gemacht und auch bei den Aufgaben dort finde ich nichts vergleichbares.
Das einzige was man dort meines Wissens nach macht, ist Nullstellen von Funktionen folgender Art:
f(x)=x^4+ax^2+c
was allerdings weitaus einfacher ist als das allgemeine.
Vielen Danke für die Hilfe! |
Raphael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 00:11: |
|
Hallo Jan Martin Krämer!
Ersetze x durch x+iy
Real und Imaginärteil müssen unabhängig voneinander 0 sein.
führt auf bikubische Resolvente
Lösungen:
x+iy(x)
x-iy(x)
-x+iy(-x)
-x-iy(-x)
|
liebchen (liebchen)
Neues Mitglied
Benutzername: liebchen
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 07:48: |
|
Hi!
Also:
Gegeben ist
a'x4+b'x3+c'x2+d'x+e'=0
dies zunächst in die Normalform
x4+ax3+bx2+cx+d=0
bringen.
Mit
x=z-a/4
p=b-3/8a²
q=c-(ab)/2+1/8a³
r=d-(ac)/4+(a²b)/16-3/256*a4
ergibt sich die reduzierte Form
z4+pz2+qz+r+e=0
Die auflösung der reduzierten Form ergibt sich nach
(*)(z²+P)²-(Qz+R)²=0 <=> z²+P=Qz+R oder z²+P=-Qz-R
mit
(**)
p=2P-Q²
q=-2QR
r=P²-R²
Ist nun q=0, so kann duie biquadratsiche Gleichung z4+pz²+r=0 auf quadratische Gleichungen zurückgführt werden, andernfalls ist eine Lösung (P,Q,R) des Glsystems (**) zu finden. Durch Umformen erhält man:
(1) Q²=q²/(4P²-4r)
(2) R²=P²-r
(3) QR=-q/2
(4) P³-p/2*P²-rP+pr/2-1/8q²=0
Zu einer Lösung P von (4) wählt man unter den Lösungen von (1) und (2) ein Paar (Q,R) aus, das (3) erfüllt und setzt (P,Q,R) in (*) ein. die Lösungen dieses Systems sind die 4 Lösungen der reduzierten Form, für jede Lösung z ist dann x=z-a/4 eine Lösung der Normalform.
(Auflösung nach FERRARI)
liebchen
|
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 86
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 10:04: |
|
Hi Jan,
bezweifelst du meine Fähigkeiten?
Ich gebe zu das dieses Thema nicht in den Lehrplan der 8-10 Klasse gehört. Das ist aber irrelevant, weil auch zum Beispiel Aufgaben im Bereich "Universitäts Niveau" gestellt worden sind die eigentlich woanders hingehören würden.
Von der Angabe 8-10 Klasse solltest du dich nicht irritieren lassen!
Und ich bezeichne alle Gleichungen 4. Grades als "biquadratische Gleichungen"-also nicht nur den Spezialfall den du dort beschrieben hast!
Ich schicke dir eine Mail mit dem 1. Teil des Exkurses!
Gruß N.
|
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 14:34: |
|
@Niels,
wo habe ich denn deine Fähigkeiten angezweifelt?
Ich habe in den Beiträgen der 8.-10. Klasse gesucht und nichts gefunden (ich habe allerdings kein Zugang zum Archiv).
Nochmals vielen Dank an alle für die Hilfe und die Lösungen} |
Niels (niels2)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 87
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 16:12: |
|
Hi Jan,
mein Kommentar mit den Fähigkeiten war ironisch rethorisch gemeint-nicht ernst gemeint.
konntest du mit der Mail und den dazugehörigen HTML Seiten etwas anfangen?
Gruß N.
|
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Juli, 2002 - 18:38: |
|
Hi Niels,
leider kann man es im Internet nicht immer unterscheiden ob jemand etwas ernst meinte, oder im Scherz, besonders wenn man diejenige Person nicht kennt.
Leider habe ich deine Mail nicht erhalten, es könnte daran gelegen haben das web.de heute wegen Wartungsarbeiten an den Servern oder sowas nicht zu erreichen war und deswegen vielleciht auch Probleme bei der Mailzustellung hatte.
Falls du sie noch abgespeichert hast, könntest du sie noch mal schicken? Das wäre sehr nett. |
