| Autor |
Beitrag |
    
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 16:22: | 
|
Hi Ihr!
Kann mir jemand helfen?
Ich soll zeigen, dass die Matrix A nicht reell diagonalisierbar ist, als Hilfe: Minimalpolynom
Für A gilt:
A²+A+E=0
0=Nullmatrix
E=Einheitsmatrix
mein Problem ist nun dass ich noch nie etwas mit dem Minimalpolynom gemacht habe (unser Prof. hat das wohl weggelassen), nachgelesen habe ich bereits, dass das Minimalpolynom die gl irreduzieblen Teiler wie das charakt. Poly. hat und dass f(A)=0 und dass es das Poly. kleinsten Grades sein soll, sowie normiert sein.
Ich verstehe jetzt aber nicht was f(A)=0 bedeuten soll, hab auch schon ein Bsp aus dem Buch bei dem eine Matrix explizit gegeben war versucht nachzuvollziehen, aber nicht kapiert.
Wäre super wenn jemand Zeit dafür hätte!
maxi
maxi |
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 16:33: |
|
hab was vergessen!
A ist reell und alle Matrizen sind vom Typ 3x3 |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 17:11: |
|
Hi Maxi,
ich weiß nun ja leider nicht wieviel ihr in der VL gemacht habt und was du alles weisst.
Wenn f ein Polynom ist, dann bedeutet f(A) das Du A in das Polynom einsetzt und dann ausrechnest, welche Matrix dabei herauskommt.
Für die Aufgabe brauchst du denn Satz dass eine Matrix genau dann diagonalisierbar ist, wenn das Minimalpolynom in unterschiedliche Linearfaktoren zerfällt. Insbesondere muss es ganz in Linearfaktoren zerfallen. Das Polynom X^2+X+1 ist aber über R irreduzibel (das Polynom ist ein Teiler des Minimalpolynoms und da irreduzibel sogar das Minimalpolynom), also ist A nicht diagonalisierbar über R.
gruß clara |
Maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 17:58: |
|
@ clara:
meinst du mit "ganz in Lin.fakt. zerfallen", dass diese paarweise verschieden sein müssen?
Ich kenne nur den Satz, dass das charakt. Polyn. in paarweise verschiedene Lin.fakt. zerfallen muß bzw. die alg. Vielfachheit der geom. Vielfachheit sein muß, damit eine Matrix diagonalisierbar ist!
Funktioniert das mit dem einsetzten so, dass ich einfach anstatt x die Matrix A ins Polynom einsetze? Bist du so auch auf x²+x+1 gekommen? Aber wieso 1, muß man jeweils die Determinante der Matrix einsetzen?
Woher weiß ich dass das Polynom f ein Teiler des Minimalpolynoms ist, die Def. sagt doch nur dass das Minimalpolynom f teilt. Dieses Polynom zerfällt nicht in Linearfaktoren, da es keine reellen NST gibt, den die Diskriminante ist negativ.
Maxi |
clara
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 18:29: |
|
Hi Maxi,
"meinst du mit "ganz in Lin.fakt. zerfallen", dass diese paarweise verschieden sein müssen?"
Ja, und das es über R in Linearfaktoren zerfällt.
"Funktioniert das mit dem einsetzten so, dass ich einfach anstatt x die Matrix A ins Polynom einsetze? Bist du so auch auf x²+x+1 gekommen?"
Ja.
"Aber wieso 1, muß man jeweils die Determinante der Matrix einsetzen?"
Nein. Wenn man in x^2+x+1 eine Matrix für die Unbestimmte einsetzt, dann kann man bei 1 natürlich nichts einsetzen. A^2+A ist eine Matrix und eine Matrix plus 1 macht keinen Sinn, aber eine Matrix plus 1 mal die Einheitsmatrix macht Sinn. Würde dort 7 stehen, dann A^2+A+7*E. So ist das Einsetzen von Matrizen in Polynome erklärt.
"Woher weiß ich dass das Polynom f ein Teiler des Minimalpolynoms ist,..."
Ups!!! Das ist ja gar nicht richtig! Es ist genau umgekehrt. Das Minimalpolynom teilt das Polynom f, weil das Minimalpoylnom (Abk. Mipo), das normierte Polynom kleinsten Grades ist, welches die Matrix A annuliert (beim einsetzen kommt Null raus). Da f nach Vor. normiert ist und A annuliert, kann das Mipo nur ein Polynom kleineren Grades sein, das ein Teiler von f ist. (Formal müsste man dies aber beweisen).
"...die Def. sagt doch nur dass das Minimalpolynom f teilt."
Ja. Absolut richtig!
"Dieses Polynom zerfällt nicht in Linearfaktoren, da es keine reellen NST gibt, den die Diskriminante ist negativ."
Ja, für ein Polynom vom Grad 2 kann man über Nullstellen argumentieren.
Also haben wir nun f=Mipo und das char.Poly hat diesen irreduziblen Faktor. Zerfällt also nicht in Linearfaktoren, damit ist A nicht diagonalisierbar über R.
Gruß und sorry für den Fehler
clara
|
maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 18:37: |
|
@ clara, no problemo, herzlichen Dank für die Erklärungen!!!
maxi |
|
