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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 07:50: | 
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Sei M:= [0,1]x[-1,1] cIR^2
f: M-->IR f(x,y):= 2x-xy+(3/4)y²+(1/2)y
wo liegen lok. und glob. Extrema und was ist die Menge f(M)??
Wie löst man das am schnellsten?
Mit Partieller Ableitung nach x habe ich gefunden, dass ein Extremum bei y=2 vorliegt, y=2 aber nicht im Defbereich! und bei der partiellen Ableitung nach y wußte ich nicht mehr weiter, muß man die part. Abl. nach x zusätzlich noch nach y ableiten oder wie, die Ränder hab ich auch untersucht, aber jetzt weiß ich nicht recht wo die lokalen Extrema liegen, habe nur 2 globale gefunden (gl Max bei (1,-1) und gl Min bei (0,-1/3)
Kann mir da jemand weiterhelfen bitte!?!?
maxi |
Orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 10:28: |
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maxi :
Für kein (x,y) in M gilt offenbar f_x(x,y) =
f_y(x,y) = 0, also gibt es in M kein lokales
Extremum. Solche existieren daher höchstens
auf dem Rand. Aus
f(0,y)= (3/4)(y+1/3)^2 - 1/12,
f(1,y) = (3/4)(y-1/3)^2+23/12,
f(x,-1) = 3x+1/2 ,
f(x,1) = x+5/4
sind sie leicht zu ersehen, daher auch
f(M) = [-1/2, 7/2]
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 11:10: |
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also ich versteh's immer noch nicht so ganz:
f(0,y)= (3/4)(y+1/3)^2 - 1/12, (hab ich auch)
f(1,y) = (3/4)(y-1/3)^2+23/12, (hab ich auch)
f(x,-1) = 3x+1/2 , (Ich hab 3x+1/4)
f(x,1) = x+5/4 (hab ich auch)
bildet man dann davon dann nicht die 1. Ableitung nach x bzw. y und malt sich das Signum der 1. Ableitung und entscheidet dann ob an den Nullstellen der 1. Ableitung ein Max oder ein Min ist, oder geht das am Rand nicht???
f_x(x,y) =
f_y(x,y) = 0 soll das die Schreibweise für die Partiellen Ableitungen sein? Wie finde ich die NST der part. Abl. nach y (-x+3/2y+1/2=0)muß ich da jetzt alle x(y) angeben oder wie ???
Also im inneren v. M gibts keine lokalen Extrema sagst du, aber am Rand schon, sind denn die NST der angegebenen Fknen die Werte f. (x,y) der Extrema, aber woher weiß ich dann dass es lokale sind, ist es so dass alle lokal sind außer das allergrößte und das allerkleinste??? (1,1/3) ist nämlich laut Lsg kein lokales Minimum!!!
Die Aufgabe ist glaub ich garnicht so einfach wie sie scheint!
maxi
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Orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 14:43: |
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maxi :
f(x,-1) = 3x+1/4 (!)
Auf dem Rand hat man hier doch nur
lineare bzw. quadratische Funktionen in x bzw. y , da muss man nichts mehr ableiten .
Nach Def. hat f :M->IR in (x0,y0) ein lokales
Extremum g.d.w. es eine Umgebung
U((x0,y0)) gibt , sodass für alle (x,y) in U((x0,y0)) gilt : f(x,y) < (bzw. >) f(x0,y0).
Beachte, dass Umgebungen offene Mengen
sind. Daher bezieht sich die Def. auf innere Punkte (x0,y0) von M.
Dann gilt für differenzierbare f der Satz: f hat bei (x0,y0) ein lokales
Extremum ==> f_x(x0,y0) = 0 und f_y(x0,y0) = 0
Um für obiges f die lokalen Extrema zu finden,
hat man also das Gleichungssystem
(1) 2 - y = 0
(2) -x + (3/2)y + 1/2 = 0
zu lösen , das ergibt (x0,y0) = (7/2,2). Dieser
Punkt gehört nicht zu M ==> kein lokales Extremum.
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 16:14: |
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@ orion:
Danke ich hab's jetzt denke ich so einigermaßen, obwohl ich noch kein richtiges System entdeckt habe, hab's jetzt einfach mal mit einer Zeichnung versucht um mir zu veranschaulichen was da so geht, was heißt übrigens g.d.w.? Ich nehme jetzt einfach mal an, dass f_x(x0,y0) = 0 und f_y(x0,y0) = 0 wirklich die partiellen Ableitungen darstellen soll, nachdem du nichts gegenteiliges geschrieben hast.
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Orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 16:56: |
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g.d.w. : genau dann wenn
f_x : partielle Ableitung nach x
mfg
Orion
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maxi
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 17:07: |
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danke |
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