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stetig aber nicht beschränkt

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Analysis » Stetigkeit » stetig aber nicht beschränkt « Zurück Vor »

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maxi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 18:40:   Beitrag drucken

Gesucht ist eine Fkn die stetig aber nicht beschränkt ist auf [-1,1]: mein Vorschlag
f(x)= 1/(x+1), die Lösung sagt aber es gibt keine solche Fkn, aber wieso???

maxi
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ende (ende)
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Neues Mitglied
Benutzername: ende

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 19:05:   Beitrag drucken

Dein f lebt gar nicht auf ganz [-1, 1]. Deshalb ist Deine Fkt kein geeignetes Gegenbeispiel.
Du kannst Dir [-1, 1] ja mal genau anschauen. Vielleicht faellt Dir ja eine spezielle Eigenschaft dieser Menge ein.
Und dann faellt Dir vielleicht ein, dass diese spezielle Eigenschaft unter stetigen Funktionen auf die Bilder uebergeht.
Ich hab extra nicht alles verraten. Wenn Du gar nicht weiterkommst, frag einfach nochmal nach.

Gruss, E. ;-)

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maxi
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 19:26:   Beitrag drucken

@ ende:
Gibt's da vielleicht einen Satz der besagt, dass wenn eine stetige Fkn auf einem abgeschlossenen und beidseitig beschränkten Intervall def ist, auch die Wertemenge beidseitig beschränkt ist???

maxi
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epsilon
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi Maxi:
Es gibt ihn wirklich den


Satz vom Maximum und Minimum:

Eine stetige Funktion f: K-->R nimmt in jeder kompakten Definitionsmenge ihr Maximum und ihr Minimum an.


Daraus folgt natürlich auch, dass das Bild f(K) eine beschränkte Teilmenge von R ist.

Ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall ist kompakt, also nimmt eine stetige Funktion dort ihr Maximum und ihr Minimum auch an; sie ist demnach auch beschränkt.

Gruß epsilon
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ende (ende)
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Neues Mitglied
Benutzername: ende

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 21:27:   Beitrag drucken

epsilon hat natuerlich Recht.
Vielleicht habt Ihr ja sogar die beiden Saetze:

1. Die kompakten Mengen von IR mit der Abstandsmetrik sind genau die abgeschlossenen und beschraenkten Teilmengen.

2. Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt.

Das ist nur als Alternative zu epsilons Angebot zu verstehen. Seine Ausfuehrungen sind vollkommen in Ordnung. :-)

Gruss, E. ;-)

(Beitrag nachträglich am 24., Juli. 2002 von ende editiert)

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