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Beitrag |
    
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 14:32: | 
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Hallo, wer kann mir helfen?
Die Aufgabe lautet:
Beschreiben Sie die Sinusfunktion über dem Intervall "eigentlich in eckigen Klammern"(0;pi)
möglichst gut durch eine quadratische Funktion. Erläutern Sie dazu erst einmal, was Sie unter "möglichst gut" verstehen möchten und welche anderen sinnvollen Auffassungen denkbar sind.
Diese Aufgabe stand so in einer Examensklausur von 1999. |
Fern
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 20:31: |
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Hallo,
f = sin(x)
aus Symmetriegründen können wir die quadratische Funktion ansetzen:
g = a*(x - p/2)² +b
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Kriterium für den Ausgleich: die Summe der Quadrate der Ordinatenfehler soll Minimum sein.
Ordinatenfehler = f - g
Quadrat davon: (f-g)²
Summe davon:
A = ò0 p (f-g)² dx
dies ergibt: A = 8a - ap² + p/2 + a²p5/80 - 4b + abp³/6 + b²p
A ist eine Funktion von zwei Variablen. A(a,b)
Partielle Differentiation und Nullsetzen:
Aa = 8 - p² - ap5/40 + bp³/6 = 0
Ab = -4 +ap³/6 + + 2bp = 0
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Dieses Gleichungssystem ergibt:
a = 60*(p² - 12)/p5
b = -3*(p² - 20) /p³
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Damit sind die Koeffizienten der quadratischen Ausgleichsfunktion bekannt und wir können die beiden Funktionen plotten:
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Andere Ausgleichskriterien wären z.B.
Die Ausgleichfunktion soll bestimmte Punkte mit der sin-Funktion gemeinsam haben. (z.B. bei x=0 und x= p usw).
Dies ist dann aber ziemlich trivial.
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