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Christian Schmidt (christian_s)
Junior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 20:27: | 
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Sei (X,d) ein metrischer Raum. Man beweise:
Sei x,y aus X, x ungleich y, dann git es disjunkte Umgebungen von x und y.
Finde hier irgendwie keinen Ansatz.
MfG
C. Schmidt |
Jan Martin Krämer (species5672)
Junior Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 22:35: |
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Das Hausdorffsche Trennungsaxiom:
Zu je zwei Punkten x,y aus X mit x¹y gibt es disjunkte Umgebungen U von x und V von y, (also U schnitt V= Ø)
Beweis:
Sei e:=½d(x,y). Dann ist e>0 und
U:=B(x,e), V:=B(y,e) sind Umgebungen von x und y.
Sie sind punktfremd, denn gäbe es ein z aus dem schnitt von U und V, so würde folgen:
2e=d(x,y)£d(x,z)+d(z,y)<e+e=2e, also 2e<2e!
Widerspruch damit sind sie disjunkt. |
Christian Schmidt (christian_s)
Junior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 12:24: |
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Hi Jan
Vielen Dank für deine Hilfe
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Junior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 12:41: |
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Hab noch ne Aufgabe...ist Aufgabenteil b)
Sei A Teilmenge von X abgeschlossen, x aus X, x nicht aus A . Dann gibt es disjunkte Umgebungen von x und A
Kann man jetzt einfach sagen, dass zu jedem Element aus A eine disjunkte Umgebung zu einer Umgebung von x existiert. Die Vereinigung aller Umgebungen der Elemente aus A bildet eine Umgebung von A. Diese ist dann disjunkt zu einer Umgebung von x.
MfG
c. Schmidt |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1245
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 18:57: |
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Nein, das kannst du so nicht machen.
Wieso sollt die Vereinigung der Umgebungen disjunkt zu einer Umgebung von x sein?? Im Allgemeinen ist das falsch! |
species5672 (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 22:30: |
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Hab mal ne Frage zu meiner Antwort (hehe):
Warum heißt es eigentlich TrennungsAXIOM, es wird doch bewiesen (und wäre ja auch doof sowas Axiom zu fordern)? |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1247
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 23:07: |
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Hallo Jan, war das jetzt eine ernstgemeinte Frage?
Ein topologischer Raum heißt "hausdorffsch", falls das Axiom erfüllt ist. Du hast bewiesen, dass ein metrischer Raum immer hausdorfsch ist.
Es ist nicht doof, so etwas als Axiom zu fordern. Vielmehr kann man dann allgemeine Aussagen über topologische Räume formulieren und beweisen, die dieses Axiom erfüllen. Insbesondere gelten diese Sätze dann in metrischen Räumen. |
species5672 (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 16:19: |
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Warum nennt man das dann nicht Definition?
Definition: Ein topologischer Raum heißt... falls das und das gilt.
Satz: Ein metrischer Raum ist immer hausdorffsch.
Axiome sind doch eigentlich grundlegende Annahmen die nicht bewiesen werden können und die auch so einleuchten. |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1249
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 17:18: |
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Bei den Peano-Axiomen gebe ich dir recht. Aber, man spricht doch auch von Gruppen- oder Körperaxiomen. Es ist sicherlich zum Teil Geschmackssache, wann es ein Axiom und wann schlicht eine Definition ist. |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 19:45: |
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@species5672
ich gebe zu, das bringt eure Diskussion über Axiome / Definitionen überhaupt nicht weiter,
aber wenn mich meine Erinnerung StarTrek betreffend nicht täuscht, müsste es nicht "species 8472" heißen?
Oder gibt es eine andere Quelle für "species 5672"?
[Nur zur Erläuterung: als alter StarTrek-Fan muss man ja hier nachfragen]
epsilon
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1250
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 20:26: |
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Ich denke, Jan ist am 5. Juni 30 geworden ;-) |
Jan Martin Krämer (species5672)
Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 22:47: |
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ihhh, so alt bin ich nun doch nicht ;))
species 8472 + species 5618 (Menschen) macht species 5672 (elementare rechenregeln *g*)
Alles andere war halt meistens schon belegt und da niemand so einen Namen nimmt, muss ich mir nicht jedesmal Gedanken über einen machen (denken ist anstrengend musst du wissen).
[Star Trek X kommt bald, JUHUU ] |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1253
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Juli, 2002 - 23:24: |
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Sorry! ;-) |
epsilon
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Juli, 2002 - 21:47: |
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Ey!
Gute Erklärung!
Ich muss zu meiner Schande bekennen, dass ich nicht mehr gewusst habe, dass wir species 5618 sind!
live well and prosper
Gruß epsilon
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