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Beitrag |
    
???
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 10:11: | 
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wie kann man sich herleiten, dass
Summe(n=0-oo)(n+1)*x^n = (1-x)^-2
ist??? |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 10:59: |
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Das ist die MacLaurin-Reihenentwicklung von f(x)=1/(1-x)²
f(x) erfüllt die DGL (1-x)y'=2y , f(0)=1
Durch Einsetzen des Potenzreihenansatzes f(x)=S¥ n=0 anxn erhält man die Rekursion a0=1 , an=(n+1)/n an-1 und daraus an = n+1
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1237
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 11:03: |
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Geometrische Reihe:
Summe x^n = 1/(1 - x)
Jetzt links und rechts ableiten. |
Rebekka Malten (rebmalten)
Junior Mitglied
Benutzername: rebmalten
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 14:13: |
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Hallo Zaph,
gilt diese Formel nicht nur für Betrag(x)<1 ?? Habe ich jedenfalls so in Erinnerung. Und da '???' keine Definitionsmenge für x vorgegeben hat...
Gruß
Reb
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Orion (orion)
Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 14:45: |
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Hallo :
Im Sinne des Rechnens mit "Formalen Potenzreihen" ist
(1-x)^2*sum[n>=0](n+1)x^n
=(1-x)*sum[n>=0]x^n = 1.
mfg
Orion
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???
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Juli, 2002 - 17:41: |
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Hallo Ihr,
danke für die vielen Gedanken,
ja ich habe vergessen anzugeben IaI<1,
allerdings kapiere ich weder wie das mit dem ableiten funktionieren soll, noch weiß ich was orion meint, könnte ihr bitte einen Zwischenrechenschritt mehr angeben, bitte?
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1238
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 00:25: |
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Hi ???,
die geometrische Reihe lauten (hoffentlich bekanntermaßen)
Soo n=0 xn = 1/(1 - x)
Links: Soo n=0 xn
Abgeleitet (summandenweise): Soo n=1 n xn-1 = Soo n=0 (n + 1) xn
Rechts: 1/(1 - x)
Abgeleitet: 1/(1 - x)²
Also
Soo n=0 (n + 1) xn = 1/(1 - x)² |
???
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 07:37: |
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hi zaph,
wieso kommt es bei der ableitung der summe zu einer indexverschiebung? hätte meine frage vorher vielleicht schon präzisieren sollen, ich versteh glaub ich garnicht wie man eine summe ableitet, auch nicht wieso
Soo n=1 n xn-1 = Soo n=0 (n + 1) xn
Ne summe haben wir noch nie abgeleitet, wie geht man den da vor?
gruß ???
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???
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 09:36: |
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also ich hab nochmal viel nachgelesen und kann mir die Herleitung nun über das Cauchy-Produkt herleiten, allerdings fehlt es mir da echt an einer ziemlich trivialen Grundlage, ich kann nicht verstehen, wieso
Summe (i=0-k) x^k = (k+1)x^k
x^k ist doch unabhängig von i, d.h. man könnte es als Faktor vor die Summe stellen aber was ist mit der 1 in der Summe?
Sorry für diese trivialfragen!!! |
Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1239
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 09:46: |
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Hallo ???, es gilt HIER:
Die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen.
Das gilt aber leider nicht immer - hier (im Spezialfall der Potenzreihen) aber schon. Wenn ihr das noch nicht hattet, darfst du es wohl dann auch nicht verwenden.
Dass die beiden Summen gleich sind "siehst" du sehr einfach, indem du dir die - sagen wir mal - ersten 10 Summanden hinschreibst.
Summe (i=0-k) x^k = (k+1)x^k ist so wohl nicht richtig. |
