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???
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 17:17: | 
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eine Folge muß dann monoton und beschränkt sein, aber warum ist a0=2, an+1=sqrt(4+an) beschränkt? |
egal
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 18:15: |
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Betrachte f(x)=sqrt(4+x) als reellwertige Abbildung vom kompakten Intervall I=[0,N] in sich selbst. N>=a=(sqrt(17)+1)/2 sei beliebig aber fest gewählt. (a ist der Grenzwert der Folge). Die Wertemenge f(I) ist Teil von I, da f(x)<x für x>a. f(x) ist differenzierbar und für die Ableitung gilt: 0 < f'(x)=1/2sqrt(4+x) <= 1/4. Damit ist f eine Kontraktion auf I und nach dem Fixpunktsatz von Banach gibt es genau einen Fixpunkt, nämlich a mit a=f(a), und die Iterationsfolge an+1=f(an) konvergiert für jeden Startwert a0 aus I.
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???
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Juli, 2002 - 21:40: |
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gibt's die Erklärung auch auf 1.Semester-Niveau???
DANKE |
Tyll (tyll)
Mitglied
Benutzername: tyll
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 18:24: |
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Hi.
Wenn du den Quotienten an/an-1 bildest erhälst du den ausdruck
1+2/(4+an-1)1/4:=bn.
Da du weißt, daß an monoton wachsend ist, folgt damit, daß bn gegen 1 konvergiert.
Also ist an beschränkt.
Gruß
Tyll |
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