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Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 16:13: | 
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Hallo wer kann mir bei der folgenden Aufgabe helfen. Es war eine Examensaufgabe:
In Mathasialand gebären alle Frauen mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 einen Jungen und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein Mädchen. Außerdem gebären sie solange, bis sie entweder eine Tochter oder vier Kinder haben.
a) Wie viele Kinder haben sie im Mittel?
b) Heute leben dort noch 1 Million Frauen. Wie lange dauert es, bis dort zwei Millionen leben oder alle augestorben sind? |
Jan Martin Krämer (species5672)
Neues Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 18:40: |
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a)
Es stehen folgende Möglichkeiten zur Verfügung:
i) 1 Kind: Mädchen
ii) 2 Kinder: Junge, Mädchen
iii) 3 Kinder: 2*Junge, Mädchen
iv) 4 Kinder: 3*Junge, Mädchen
v) 4 Kinder: 4*Junge
i) hat die Wahrscheinlichkeit (P=) 0,5 da zu 50% Junge und zu 50% Mädchen
ii) hat P= 0,5 * 0,5 = 0,25 da zuerst der Junge (mit Wahrscheinlichkeit 0,5) und dann das Mädchen (ebenfalls mit Wahrscheinlichkeit 0,5) kommen muss. Also 0,5*0,5
iii) hat P = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 (erst Junge, dann Junge, dann Mädchen)
iv) hat P = 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,0625
v) hat ebenfalls P = 0,0625 da Junge und Mädchen gleich wahrscheinlich sind.
Wie viele Kinder hat sie also im Durschnitt?
In 0,5 der Fälle 1 Kind
In 0,25 der Fälle 2 Kinder
In 0,125 der Fälle 3 Kinder
In 0,125 (2*0,0625) der Fälle 4 Kinder
Macht 0,5*1 + 0,25*2 + 0,125*3 + 0,125*4 = 1,875 Kinder im Durschnitt
b) Mathasialand ist kein langes Leben beschieden. Da jede Frau maximal ein Mädchen gebärt, kann die Anzahl der Frauen in der Gesellschaft nicht steigen.
Die Anzahl der Männer kann zwar steigen, trägt aber in unserem Modell nicht zur Fortpflanzung bei, ist also irrelevant.
In 6,25 % der Fälle gebärt eine Frau gar kein Mädchen und somit reduziert sich die Anzahl der Frauen in der Gesellschaft kontinuierlich und sie wird über kurz oder lang aussterben.
Wie lange das dauert kann man aus der Aufgabenstellung aus nicht errechnen, da Angaben fehlen ab wieviel Jahren die Frauen Kinder kriegen, wie schnell hintereinander, usw.
Ich hoffe du hast meine Erklärungen einigermaßen verstanden |
EastPatrol
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Juli, 2002 - 04:14: |
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Hallo Kerstin und Jan Martin,
ich habe eine Frage zum Wortlaut der Aufgabenstellung,
es kann sein, dass ich vielleicht etwas falsch verstanden habe.
Ich finde jedenfalls, dass die Aufgabe etwas undeutlich formuliert ist.
Es heißt dort: "..solange, bis sie entweder eine Tochter oder vier Kinder haben", und "wenn entweder A oder B eintritt" heißt für mich:
"Genau eines der Ereignisse A,B tritt ein.", es heißt für mich aber nicht, dass A und B gleichzeitig eintreten können.
Vielleicht war das auch nur eine unbeabsichtigte Formulierung in der Aufgabenstellung, und es war in Wirklichkeit gemeint "Alle Frauen gebären solange, bis sie eine Tochter oder (auch) vier Kinder haben.", für diesen Fall hat Jan Martin die Aufgabe richtig gelöst, denke ich.
Wenn es aber eine Examensaufgabe war, sollte man dann nicht annehmen, dass es genau so gemeint ist wie es dort steht? - immerhin würden sich dann die Wahrscheinlichkeiten für Jungen- und Mädchengeburten doch etwas ändern?
vielleicht so:
das Ereignis "eine Frau hat eine Tochter" sei kurz mit 'T' bezeichnet
das Ereignis "eine Frau hat vier Kinder" sei kurz mit 'V' bezeichnet
Dann steht dort:
Eine Frau gebärt so lange, bis entweder T oder V eintritt, mit anderen Worten also:
Eine Frau gebärt so lange, bis genau eines der Ereignisse T und V eingetreten ist.
Jetzt sehe ich für T zwei Möglichkeiten und für V zwei Möglichkeiten, wie diese Ereignisse etwas genauer ausformuliert lauten könnten:
entweder war V so gemeint:
Va)
das Ereignis V: "eine Frau hat vier Kinder" kann gedeutet werden als: "eine Frau hat mindestens vier Kinder", wobei das Ereignis V auch in dem Fall als eingetreten gälte, in dem sie mehr als vier Kinder hat.
oder so:
Vb) "Außerdem gebären sie solange, bis sie entweder eine Tochter oder genau vier Kinder haben.", so dass das Ereignis V also eigentlich heißen sollte: V:"eine Frau hat genau vier Kinder"
und T war gemeint:
entweder
Ta)
"Eine Frau hat eine Tochter" sollte eigentlich heißen: "eine Frau hat mindestens eine Tochter"
oder
Tb)
"Eine Frau hat eine Tochter" sollte eigentlich heißen: "eine Frau hat genau eine Tochter"
theoretisch denkbar wären daraus vier Kombinationen Va)Ta), Va)Tb), Vb)Ta) oder auch Vb)Tb), für sinnvoll halte ich aber nur, dass in beiden Fällen die Ereignisse
"vier Kinder" und "eine Tochter"
entweder
gleichzeitig als
"mindestens vier Kinder" und "mindestens eine Tochter" (Fall Va) und Fall Ta)
oder
gleichzeitig als
"genau vier Kinder" und "genau eine Tochter" (Fall Vb) und Fall Tb)
gedeutet werden.
Dann kämen also entweder der Fall VaTa) oder der Fall VbTb) in Betracht:
VaTa) "Alle Frauen gebären solange, bis sie entweder mindestens eine Tochter oder mindestens vier Kinder haben." (kurz: Fall a)
VbTb) "Alle Frauen gebären solange, bis sie entweder genau eine Tochter oder genau vier Kinder haben." (kurz: Fall b)
Hiermit soll jetzt versucht werden, alle Möglichkeiten zu betrachten:
die ersten vier Fälle bleiben so wie schon bei Jan Martin:
i) das erste Kind ist eine Tochter <=> T ist erfüllt, V ist nicht erfüllt <=> genau eines der Ereignisse T und V ist erfüllt
=> weitere Kinder werden nicht geboren
ii) das erste Kind ist ein Sohn und das zweite Kind ist eine Tochter <=> T ist erfüllt, V ist nicht erfüllt <=> genau eines der Ereignisse T und V ist erfüllt
=> weitere Kinder werden nicht geboren
iii) das erste Kind ist ein Junge, das zweite Kind ist ein Junge und das dritte Kind ist eine Tochter <=> T ist erfüllt, V ist nicht erfüllt <=> genau eines der Ereignisse T und V ist erfüllt
=> weitere Kinder werden nicht geboren
iv) die ersten vier Kinder sind Jungen <=> T ist nicht erfüllt und V ist erfüllt <=> genau eines der Ereignisse T und V ist erfüllt
=> weitere Kinder werden nicht geboren
nur der Fall, in dem erst drei Jungen und als viertes Kind ein Mädchen geboren werden, ändert sich dann, je nach Auslegung VaTa) oder VbTb):
a)
v) das erste Kind ist ein Junge, das zweite Kind ist ein Junge, das dritte Kind ist ein Junge und das vierte Kind ist eine Tochter <=> T und V sind nun beide erfüllt
=> die Frau gebärt weiter:
egal, welches Geschlecht das fünfte Kind hat:
Es gelten von nun an beide Ereignisse T und V immer gleichzeitig als eingetreten, und keines der beiden kann jemals wieder als "nicht eingetreten" gelten:
=> die Frau wird solange weiter gebären, bis sie keine Kinder mehr gebären kann...
b)
v) die ersten drei Kinder sind Jungen und das vierte Kind ist ein Mädchen <=> T ist erfüllt und V ist auch erfüllt
=> die Frau gebärt weiter:
v1) wenn das fünfte Kind ein Sohn ist: dann ist V nicht erfüllt, aber T ist erfüllt
=> die Frau hört auf zu gebären
v2) wenn das fünfte Kind eine Tochter ist: dann ist V nicht erfüllt und T ist auch nicht erfüllt und es wird auch nie mehr eintreten, dass beide gleichzeitig erfüllt sein können
=> die Frau wird erst dann aufhören, zu gebären, wenn sie keine Kinder mehr gebären kann
So werden sich die Wahrscheinlichkeiten abändern, aber da nichts darüber bekannt ist, wie viele Kinder die Frau maximal gebären kann, kann auch weiter keine Aussage über die mittlere Anzahl der Kinder gemacht werden, höchstens eine Abschätzung.
Wenn ein Fehler in meinen Überlegungen steckt, würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagt, wo er ist.
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Jan Martin Krämer (species5672)
Junior Mitglied
Benutzername: species5672
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Juli, 2002 - 23:02: |
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Also ich denke das dies ein nicht lösbares Problem ist, hervorgerufen durch die Aufgabenstellung.
Trotzdem noch mal meine Sicht der Dinge:
Meiner Ansicht nach (war ja klar sonst hätte ich das nicht so bearbeitet ;) ) ist hier kein exklusives Oder gemeint, denn dann wäre wie du ja schon gesagt hast undefiniert, was passieren würde, wenn 3 Jungen und 1 Mädchen geboren würden. Dann würde aber die 2. Aufgabe mit den Jahren bis zur Verdoppelung keinen Sinn mehr machen.
Aus diesem Grund halte ich auch bei Va) nur sinnvoll das sie genau 4 Kinder hat, hätte sie mehrere könnte man die Aufgabe 2) nicht mehr bearbeiten.
Die ursprüngliche unveränderte Aussage war ja:
"Außerdem gebären sie solange, bis sie entweder eine Tochter oder vier Kinder haben."
Ich denke das es so gemeint ist:
Die Frau gebärt solange(!) Kinder, bis eine der beiden Bedingungen erfüllt ist.
Das sie nachdem die Bedingung erfüllt ist aufhört ist klar, da sie ja nur solange(!) gebärt.
Zu dem exklusiven Oder hatte ich ja oben schon etwas gesagt.
Na ja, vielleicht löst Kerstin ja dieses kleine Rätsel (ich bin sowieso dafür das man die deutsche Sprache einmal komplett reformiert und diese ganzen lästigen Zweideutigkeiten elliminiert ;) ).} |
Kerstin
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 11:51: |
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Hallo Ihr beiden!
Erst mal vielen Dank für Eure Hilfe. Ich gehe mal davon aus,daß die Version von Jan Martin korrekt ist. Da diese Aufgabe aus einer Examensklausur für L1 und L2 stammt, kann ich mir nicht vorstellen, daß darin Aufgaben vorkommen, die dann im zweiten Schritt nicht mehr lösbar sind.
Aber vielen Dank!!!!
Gruß Kerstin |
EastPatrol
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Juli, 2002 - 15:40: |
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Hallo Kerstin und Jan Martin,
"exklusives Oder" bedeutet für mich dasselbe wie "entweder ... oder" (oder irre ich mich?), und ich lese dort "entweder", was für mich heißt:
nur eines der beiden Ereignisse hinter den Wörtern "entweder" und "oder" darf eintreten, ich bleibe mal bei einem Mutter-Kind-Beispiel:
Eine Mutter sagt zu ihrem Kind:
"Entweder du kommst jetzt mit oder du bekommst kein Eis"
ist es dann nicht ganz klar, dass niemals einer der beiden Fälle a) oder b) eintreten kann:
dass das Kind...
a) mitkommt und trotzdem kein Eis bekommt
b) nicht mitkommt und trotzdem ein Eis bekommt ?
Ich würde auf jeden Fall den Aufgabensteller dieser Examensaufgabe darauf ansprechen, ob das "entweder" nicht besser gestrichen werden sollte.
EastPatrol |
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