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Beitrag |
    
Robert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 02:19: | 
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Hallo,
zugegeben, diese DGL sieht etwas kompliziert aus, aber lösbar müsste sie sein:
(x³+y²)*x*y' = (x³+2y²)*y
Wie könnte man sie lösen? |
Orion (orion)
Junior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Juli, 2002 - 08:39: |
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Robert :
Die Dgl. lässt sich schreiben als
P*dx + Q*dy = 0
mit P:= x^3*y+2*y^3 , Q = - x^4 - x*y^2.
Leider ist sie nicht exakt, d.h. P_y <> Q_x.
Daher suchen wir einen integrierenden
Faktor M. Ich vermutete einen solchen von
der Form M = x ^a*y^b und wurde fündig :
a=-3, b=-2 leisten das Verlangte.
mfg
Orion
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Robert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Juli, 2002 - 03:06: |
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Danke, Orion.
Verstehe ich es richtig, dass der integrierende Faktor M durch folgenden Ansatz gefunden werden kann:
M(x,y) = f(z) mit z = x^a * y^b
==>
(a) ðM/ðx = a/x * M * ðM/ðz
(b) ðM/ðy = b/y * M * ðM/ðz
wobei die Bedingung für die Wirksamkeit von M(x,y) = x^a * y^b als integrierender Faktor ist, dass
ð(MP)/ðy = ð(MQ)/ðx gilt, was nach der Produktregel zu
P * ðM/ðy + M * ðP/ðy = Q * ðM/ðx + M * ðQ/ðx wird, und mit (a), (b) dann zu:
P * b/y * M * ðM/ðz + M * ðP/ðy = Q * a/x * M * ðM/ðz + M * ðQ/ðx |:M
<==> P * b/y * ðM/ðz + ðP/ðy = Q * a/x * ðM/ðz + ðQ/ðx
<==> ðP/ðy - ðQ/ðx = (Q * a/x - P * b/y) * ðM/ðz
<==> (ðP/ðy - ðQ/ðx) / (Q * a/x - P * b/y) = ðM/ðz
wobei hier ðP/ðy - ðQ/ðx = (x³ + 6y²) - (-4x³ -y²) = 5x³ + 7y² ist
und dann eingesetzt folgt:
(5x³ + 7y²) / ( (-x³ -y²)*a -(x³+2y²)*b ) = ðM/ðz
(5x³ + 7y²) / ( (-a-b)x³ + (-a-2b)y² ) = ðM/ðz
und durch Koeffizientenvergleich
-a-b = 5 und -a-2b = 7 <==> a=-3 und b=-2, was dazu führt, dass
M(x,y) = 1/(x³y²) ist, der durch Multiplikation mit der gegebenen DGl. das exakte Differential
(1/y +2y/x³)dx - (x/y² + 1/x²)dy = 0
erzeugt, dessen Integral sich als x/y - y/x² = -2C ergibt, was letztendlich auf die Funktion
y(x) = Cx² ± sqrt(C²x^4 + x³) führt?
mfG
Robert |
Orion (orion)
Junior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Juli, 2002 - 16:45: |
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Robert:
M = x^(-3)*y^(-2) habe ich genau wie oben
von dir beschrieben gefunden. Die Rechnung
habe ich dann allerdings nicht zu Ende geführt. Das Endresultat würde ich durch
Einsetzen in die Dgl. überprüfen.
Maple liefert übrigens
y(x)^2= Cx^2 + x ± sqrt(Cx^4+x^3)
mfg
Orion
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Robert
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Juli, 2002 - 19:10: |
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hallo Orion,
Danke für die Bestätigung,
wenn man das so machen kann, dann habe ich wieder etwas mehr verstenden.
übrigens:
ich habe diese Zeile in Maple eingegeben:
y:=(C*x^2 + sqrt(C^2*x^4+x^3)) ; y1:=normal(diff(y,x)); li:= (x^3+y^2)*x*y1 ; re:=(x^3+2*y^2)*y; normal(li-re);
bzw.:
y:=(C*x^2 - sqrt(C^2*x^4+x^3)) ; y1:=normal(diff(y,x)); li:= (x^3+y^2)*x*y1 ; re:=(x^3+2*y^2)*y; normal(li-re);
und es hat sich 0 ergeben.
mit der Eingabe:
y= sqrt(Cx^2 + x ± sqrt(Cx^4+x^3)) ergibt sich in Maple:
y:=( C*x^2 + x + sqrt(C*x^4+x^3) ) ; y1:=normal(diff(y,x)); li:= (x^3+y^2)*x*y1 ; re:=(x^3+2*y^2)*y; normal(li-re);
bzw.
y:=( C*x^2 + x - sqrt(C*x^4+x^3) ) ; y1:=normal(diff(y,x)); li:= (x^3+y^2)*x*y1 ; re:=(x^3+2*y^2)*y; normal(li-re);
hat sich nicht 0 ergeben.
mfG
Robert |
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