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paul
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 19:17: | 
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wer kann nach variation der konst. diese aufgabe
vorrechnen
5y`= -3x^2y+6xy+3y
.
danke ... paul |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 21:50: |
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Hi Paul ,
Ich nehme an, die DGl. laute:
y ' = 1/5* (- 3 x^2 y + 6 x y + 3 y)
Unvoreingenommen löst man diese DGl. so
Division mit y' (Vor: y' verschwinde nicht indentisch)
y ' / y = 1/5*( -3 x^2 + 6 x + 3)
Sofortige Integration beider Seiten:
ln y = 1/5 *(- x^3 + 3 x^2 + 3 x ) + C, daraus
y = c * e ^ [1/5*( -x^3 + 3*x^2 + 3 x)]
C und c sind Integrationskonstante mit ln c = C.
Wenn man die Variation der Konstanten anwenden will
oder muss, geht man so vor :
Homogene Gleichung:
y'/y = 0 oder dy/y = 0 * dx = 0 , Integration: ln y = k oder
y = e ^ k , k konst.
Variation der Konstanten:
y = e ^ [k(x) ] also y' = k'(x) e ^[k(x)]; einsetzen in die gegebene DGl.
liefert
y'/y= k' = 1/5*( -3 x^2 + 6x + 3) ,daraus k(x) = 1/5*(-x^3 + 3 x ^ 2 +3x )
allgemeine Lösung wie oben.: y = c * e^[k(x)]k.
Anmerkung : die oben verworfene Gleichung y' identisch null liefert die singuläre Lösung y = A (konst.)
Du darfst diese Sonderlösung bei der ersten Lektüre ignorieren !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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