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Sebastian (Base)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 14:33: | 
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Hallo,
wie kann ich die Pole der Funktion
y = x³ * ln(x²) bestimmen ? |
Dr. Hinze
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 16:05: |
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Ist das Universitätsniveau ?
Was hat das mit Funktionentheorie zu tun ?
Hat die Funktion denn Pole ? |
doerrby
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 16:46: |
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Auch ein Doktor darf vernünftig antworten!!
y = x3 * ln(x2) = 2x2 * x*ln(x)
Die problematische Stelle ist x=0, da an allen anderen Stellen die beiden Faktoren x3 und ln(x2) stetig sind.
Jetzt muss untersucht werden, ob x*ln(x)®¥ geht oder nicht.
Sei x klein. Ich betrachte, was passiert, wenn x halbiert wird.
x/2 * ln(x/2) = x/2 * (ln(x)-ln(2)) = ½ x*ln(x) - x/2 * ln(2)
Der hintere Summand ist für kleine x sehr klein, also halbiert sich x*ln(x) in etwa, wenn man x halbiert, es geht also gegen 0. Da auch 2x2 für x®0 gegen 0 geht, hat die Funktion auch an der fraglichen Stelle x=0 keinen Pol.
Gruß Dörrby |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 22:41: |
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Hallo Dörrby,
für x >= 0 hast Du recht, es liegt bei x=0 kein Pol vor, und die Funktion läßt sich nach 0 hinein stetig fortsetzen.
Die Aufgabe hat aber sehr wohl etwas mit Funktionentheorie zu tun, dort betrachtet man die Funktion x3 Log(x2) für komplexe x und untersucht die fragliche Stelle x=0 in ihrer Umgebung. Die Funktion Log x besitzt dort einen Verzweigungspunkt, da der Logarithmus eine mehrdeutige Funktion ist. Die Situation ist bei Log(x2) noch komplizierter. Man lasse sich das mal mit Mathematica zeichnen:
Plot3D[Re[(x+I y)^3Log[(x+I y)^2]],{x,-1,1},{y,-1,1}]
Plot3D[Im[(x+I y)^3Log[(x+I y)^2]],{x,-1,1},{y,-1,1}]
Die Funktion hat bei x=0 im Komplexen keinen Pol vor, sondern einen Verzweigungspunkt. |
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