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Wie kann ich Differenzialgleichungen ...

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Stefan Beck (Sandman27)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 14:20:   Beitrag drucken

Wir habe heute das Thema Differenzialgleichungen begonnen. Uns wurde gesagt, dass das lösen einer solchen Gleichung ziemlich aufwendig ist. Also lösen wir die Gleichungen immer mit dem Taschenrechner. Ich wollte nur mal wissen, wie man z.B. die DGL : f'(x) = k * f(x) * (G-f(x)) ( Logistisches Wachstum ) von Hand lösen kann. Für einen Tip wäre ich euch sehr dankbar.

Gruß
Stefan
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Frank (Norg)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 16:43:   Beitrag drucken

Nun das geht z.B. so:

f'(x) = k * f(x) * (G - f(x))

Teilen durch f(x) * (G - f(x)):

f'(x) * {1 / [f(x) * (G - f(x))]} = k (*)

Das in der Klammer sieht so aus:

1 / (u * (G - u)) =

mit G erweitern:

1/G * G / (u * (G - u)) =

im Zähler u addieren und abziehen (=Null):

1/G * (u + G - u) / (u * (G - u))=

Jetzt den Zähler geschickt trennen:

1/G * [u / (u * (G - u)) + (G - u) / (u * (G - u))]=

Kürzen:

1/G * [1 / (G - u) + 1/u]

Also gilt für (*):

f'(x) * {1 / [f(x) * (G - f(x))]} = k

f'(x) * 1/G * [1 / (G - f(x)) + 1 / f(x)] = k

1/G * [f'(x) / (G - f(x)) + f'(x)/f(x)] = k

Soll ich weitermachen?

(Ich will dir ja nicht den Spaß verderben...)

MfG Frank.
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Stefan Beck (Sandman27)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 15:29:   Beitrag drucken

Ähm, halt mal kurz. Der erste Schritt ist mir schon schleierhaft. Wenn ich durch f(x) * (G-f(x)) teile, dann steht bei mir nur noch k auf der Rechten Seite. Oder wo kann ich diese Rechenaxiome für Dif. Gleichungen nachlesen ? Bist du eigentlich jetzt dabei die Gleichung nach k aufzulösen, oder nach f(x) ? Eigentlich wollte ich alle Funktionen, die diese dif. Gleichung erfüllen. Für weitere Tips wäre ich dankbar.

Gruß
Stefan
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Frank (Norg)
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Veröffentlicht am Montag, den 05. Februar, 2001 - 21:35:   Beitrag drucken

Nun, nach f(x) soll gelöst werden.
Man muß sich halt was einfallen lassen...
Wenn man weiß, daß gilt:

òf'(x)/f(x) dx=ln|f(x)|

(Kann man aus der Kettenregel herleiten.)

...dann kannst du auch -glaube ich- auch verstehen,
warum ich so umforme.

Meine letzter Zeile war:

1/G * [f'(x) / (G - f(x)) + f'(x) / f(x)] = k

Jetzt kann man beide Seiten "aufleiten" (Summen- und Faktorregel anwenden):

1/G * [-ln(G - f(x)) + ln(f(x))] = k*t + C

Denn Rest kann man leicht nach f(x) umstellen.

Mehr?

MfG Frank.

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