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Weierstraß

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Verena Geyer (Laraeve)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 18:10:   Beitrag drucken

Hi!
Kann mir jemand sagen, was der Weierstraßsche Differenzierbarkeitsansatz ist? Ich kenne nur die Gleichung:
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+r(x;h) ->
f'(x+h)=f'(x)+f''(x)h+r'(x;h) mit


lim r(x;h)/h = 0 und
h->0

lim r'(x;h)/h = 0
h->0

Damit kann ich allerdings nicht sehr viel anfangen, kann mir da jemand helfen?
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joerg
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 20:34:   Beitrag drucken

Hallo Verena!

ich denke, ich kann Dir helfen. Die folgende Erklärung stammt aus dem Analysis-Buch von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel:

f(x+h)-f(x) wird in zwei Teile zerlegt. Der erste Teil ist proportional zu h, also a*h.
Der zweite (Rest)Teil hängt von h ab, man nennt ihn r(h).

r(h) soll auch dann gegen 0 gehen, wenn man ihn durch h teilt, es muß also gelten:

1) r(h) / h -> 0 für h -> 0
Der Zuwachs von f im Intervall [x, x+h] muß als

f(x+h)-f(x) = a*h + r(h) darstellbar sein, wenn r(h) der Bedingung 1) genügt.

Nun zur Zahl a:

Wenn man 2) durch h dividiert, erhält man:

[f(x+h)-f(x)] / h = a + r(h) / h

Weil aber r(h) / h -> 0, strebt der Differenzenquotient [f(x+h)-f(x)] / h gegen a, wenn h -> 0.
Somit ist a die Ableitung an der Stelle x.

a=f'(x)

Unten ist noch ein Bild, was das Phänomen geometrisch deutet.
Dazu:
Man wählt einen zu h proportionalen Anteil und nennt ihn f'(x), r(h)
ist f(x+h)-f(x)-f'(x)*h.

Dann gilt:
3) f(x+h)-f(x)=f'(x)*h+r(h)

Aus 3) ergibt sich nach Division durch h:

[f(x+h)-f(x)] / h = f'(x) + r(h) / h

bzw.

[f(x+h)-f(x)] / h = f'(x)

Weiter: siehe Bild!

Anmerkung: xNull = x

Weierstraß
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Verena Geyer (Laraeve)
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Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 14:37:   Beitrag drucken

Hallo Jörg,
vielen Dank für Deine Hilfe, hat mir sehr geholfen!
Bye,
Verena

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