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Verena Geyer (Laraeve)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 18:10: |
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Hi! Kann mir jemand sagen, was der Weierstraßsche Differenzierbarkeitsansatz ist? Ich kenne nur die Gleichung: f(x+h)=f(x)+f'(x)h+r(x;h) -> f'(x+h)=f'(x)+f''(x)h+r'(x;h) mit lim r(x;h)/h = 0 und h->0 lim r'(x;h)/h = 0 h->0 Damit kann ich allerdings nicht sehr viel anfangen, kann mir da jemand helfen? |
joerg
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 20:34: |
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Hallo Verena! ich denke, ich kann Dir helfen. Die folgende Erklärung stammt aus dem Analysis-Buch von Rainer Danckwerts und Dankwart Vogel: f(x+h)-f(x) wird in zwei Teile zerlegt. Der erste Teil ist proportional zu h, also a*h. Der zweite (Rest)Teil hängt von h ab, man nennt ihn r(h). r(h) soll auch dann gegen 0 gehen, wenn man ihn durch h teilt, es muß also gelten: 1) r(h) / h -> 0 für h -> 0 Der Zuwachs von f im Intervall [x, x+h] muß als f(x+h)-f(x) = a*h + r(h) darstellbar sein, wenn r(h) der Bedingung 1) genügt. Nun zur Zahl a: Wenn man 2) durch h dividiert, erhält man: [f(x+h)-f(x)] / h = a + r(h) / h Weil aber r(h) / h -> 0, strebt der Differenzenquotient [f(x+h)-f(x)] / h gegen a, wenn h -> 0. Somit ist a die Ableitung an der Stelle x. a=f'(x) Unten ist noch ein Bild, was das Phänomen geometrisch deutet. Dazu: Man wählt einen zu h proportionalen Anteil und nennt ihn f'(x), r(h) ist f(x+h)-f(x)-f'(x)*h. Dann gilt: 3) f(x+h)-f(x)=f'(x)*h+r(h) Aus 3) ergibt sich nach Division durch h: [f(x+h)-f(x)] / h = f'(x) + r(h) / h bzw. [f(x+h)-f(x)] / h = f'(x) Weiter: siehe Bild! Anmerkung: xNull = x
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Verena Geyer (Laraeve)
| Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 14:37: |
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Hallo Jörg, vielen Dank für Deine Hilfe, hat mir sehr geholfen! Bye, Verena |
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