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Tobi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 16:22: | 
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Hi!
Ich bin Informatikstudent, fühle mich aber mehr wie ein überforderter Mathematiker.
Mein Problem:
Bestätige für x>0 das sog. Laplace-Integral
(int((w*sin(w*x))/(a^2 +w^2))dw von 0 bis Unendlich) = (Pi/2*exp(-a*x))
Helft mir bitte!
Danke! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 16:13: |
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Hallo :
Der Integrand f(w) ist gerade,d.h. f(-w)=f(w), daher ist das gesuchte Integral I :
I = (1/2)int[-oo,+oo]f(w)dw.
Ferner ist sin(wx) = Im (exp(iwx)). Wir berechnen
nun die Integrale
I1 := int[-oo,+oo](e^(iwx)/(w-ia))dw und
I2 := int[-oo,+oo](e^(iwx)/(w+ia))dw.
Dann sieht man leicht (bitte nachrechnen), dass
I = (1/4) Im (I1 + I2)
Nach dem Residuensatz gilt nun fŸr eine Funktion
g(w), welche keine Pole auf der reellen Achse
hat und fŸr w--> oo gegen Null geht,und fŸr x>0:
int[-oo,±oo](g(w)e^(iwx)dx) =
2pi*i*Summe der Residuen von g(w)e(iwx) in der
oberen Halbebene. Daraus folgt sofort
I1 = 2 pi*i*exp(- ax) und I2 = 0. Denn
g(w) = (w^2+a^2)^(-1) = (w-ai)^(-1)*(w+ai)^(-1)
erfŸllt obige Voraussetzungen, sie
hat fŸr a>0 genau bei w = ai einen Pol 1.Ordnung
in der oberen Halbebene, und das Residuum des
Integranden daselbst ist = e^(-ax).
Gruss
Hans |
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