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Sascha Lischer (Drvonrosenstein)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 14:29: | 
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Anfangs wollte ich alle alleine machen. Ich habs auch ne Zeitlang durchgehalten, dann hab ich angefangen, die Aufgaben, die ich nicht verstand hier reinzuschreiben. Mittlerweile bin ich so weit, daß es zu knapp geworden ist. Deshalb verstärke ich meine präsenz hier ein wenig und hoffe auf Hilfe. Ich hab sie nötig.
Sei K ein Körper, n aus N und V der Vektorraum der Polynome f aus K[t] mit Grad(f) kleiner/gleich n. Betrachte die Endomorphismen D, T aus End(V) mit
D:f->f'
also
f=Summe k=0 bis n von a(k)*t^k -> Summe k=0 bis n-1 von (k+1)*a(k+1)*t^k=:D(f)
und
T:f->f(t+1)
also f=Summe K=0 bis n von a(k)*t^k -> Summe k=0 bis n von a(k)*(t+1)^k=:T(f)
Bestimme das charakteristische Polynom, das Minimalpolynom und die Jordansche Normalform von D und T. Setze zur Vereinfachung Char(K)=0 voraus.
Danke für jede Antwort. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 09:14: |
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Hallo :
Kurzer Hinweis (weil in Eile):
Eine Basis des K-Vektorraumes V ist offenbar
(1,x,x^2,...,x^n)
Es ist
D(1)=0,D(2)=1,...,D(x^n)=nx^(n-1)
Die Matrix von D bzgl. obiger Basis lautet daher
[ 0 0 0 ... 0 0 ]
[ 1 0 0 ... 0 0 ]
[ 0 2 0 ... 0 0 ]
. . . ... . .
[ 0 0 0 ... n-1 0 ]
woraus das char.Pol. (- lamda)^(n+1) leicht ablesbar.
Das Minimalpolynom m ist ein Teiler davon, Frage
also : kleinster Exponent k sodass D^k = 0 ?
FŸr T lautet die Matrix (binomischer Satz !)
(binom(j,k)) , 0 =< j,k =< n
Hans |
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