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Geier
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 13:51: | 
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Moin allerseits.
Ich haette hier folgende Aufgabe:
Berechnen Sie unter verwendung der Greenschen Formel den Inhalt der von der Zykloide
C:x(t) =
[ t-sint ]
[ 1-cost ]
(fuer 0<=t<=2pi)
und der x-Achse umschlossenen Flaeche im R2 |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. Februar, 2001 - 20:34: |
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Hi Geier,
Gerade gestern habe ich für Jesse die Sektorformel von
Leibniz hergeleitet und zwei Beispiele dazu
( Ellipse,Hyperbel )durchgerechnet.
Die Formel entspricht der Greenschen Formel.
Sie lautet: Fläche A = ½ * int [ (x*dy - y * dx) ].d.h.
für eine Kurve C in Parameterform:
A= ½ * int [ ( x * y' - x' * y ) * dt ]
Für Dein Beispiel gilt
x = t - sin t , x' = 1 - cos t
y = 1 - cos t , y' = sin t
Der Integrand lautet somit:
f(t) =( t - sin t ) * sin t - ( 1 - cos t ) * (1 - cos t) =
= t * sin t - ( sin t ) ^2 - 1 + 2 * cos t - ( cos t ) ^2 =
= t * sin t - 2 + 2 cos t
Beim Integrieren stossen wir auf das Integral int [t * sint * dt];
Wir berechnen es durch partielle Integration und erhalten:
- t * cos t + sin t.
Insgesamt erhalten wir für das unbestimmte Integral über f(t):
F(t) = - t * cos t + sin t - 2 t + 2 sin t
Setzen wir die untere Grenze 0 und die obere Grenze 2 * PI ein
So erhalten wir a = ½ * ( - 6 * Pi)
Durch eine Umorientierung entsteht A = 3 * Pi.
Dieser Wert entspricht der dreifachen Fläche des Einheitskreises,
aus der die vorliegende Zykloide erzeugt wird.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Geier
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 12:38: |
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Hab schoenen Dank, H.R. Zur Zeit gehts bei uns dem Schein entgegen.
Durch deine, ich nehme an richtige Loesung kann ich meinem Punktekonto
einwenig auf die Spruenge helfen
MfG. Geier |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Februar, 2001 - 16:26: |
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Hi Geier,
Da meine Arbeit an der Zykloide auf fruchtbaren Boden
gefallen ist, gibt es noch eine Zugabe:
Wir berechnen bei der etwas allgemeineren Zykloide,
dafür mit einer einfacheren Methode nochmals
den Flächeninhalt unter einem vollen Zykloidenbogen:
Parameterdarstellung der Zykloide:
x = a* ( t - sin t ) , y = a* ( 1 - cos t )
Wir verwenden die Flächenformel: A = int [ y * dx ]
Als erstes berechnen wir das Differential dx aus der
ersten Gleichung durch Ableiten nach t,
damit wir diesen Term ins Integral einsetzen können
Wir erhalten dx/dt = a* (1 - cos t ) ,also dx = (1 - cos t )*dt
A = a ^ 2 * int [(1 - cos t ) ^ 2 * dt ]
Untere Grenze t = 0 , obere Grenze t = 2 * Pi.: somit
A = a ^ 2 * int [ ( 1 - 2 * cos t + cos ^ 2 t ) * dt ] in den
genannten Grenzen.
Hier benötigen wir noch das Integral von ( cos x ) ^ 2;
In Formelsammlungen finden wir als Resultat:
½ * (x + sin x * cos x)
Durch eine vollständige Integration und durch Einsetzen der
Grenzen kommt schliesslich:
A = 3 * Pi * a^2, wiederum ist A das Dreifache der Fläche des
erzeugenden Kreises, dessen Radius a ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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