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Beweis: Transponierte Matizen

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Anja
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 19:04:   Beitrag drucken

Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Ich soll beweisen, dass (A*B)transponiert = B transponiert * A transponiert ist.
Irgendwie soll mir dabei (A*B)^-1 = B^-1 * A^-1 weiterhelfen, weil (A*B)^-1 * (A*B)= B^-1*A^-1*A*B sein soll.
Ich kann das wohl mit einem Beispiel rechnen, aber dann ist das ja noch lange kein Beweis.
Hilfe!!!
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 21:45:   Beitrag drucken

a
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Fern
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 21:52:   Beitrag drucken

Kleine Korrektur:
Das erste Element in der b-Spalte und in der b-Zeile muss jeweils
b1i heißen und nicht bi.

Dies war nicht mein Tippfehler, sondern der Computer hat 1i als i interpretiert.
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Michael H
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 12:08:   Beitrag drucken

hier eine andere Möglichkeit:
ich setze als bekannt voraus:
(A.B)-1 = B-1A-1 (1)
(AT)-1 = (A-1)T (2)

zu zeigen: (A.B)T = BT.AT

auf beiden Seiten die inverse Matrix bilden:
[(A.B)T]-1 = [BT.AT]-1
rechte Seite nach (1) umformen:
[(A.B)T]-1 = [AT]-1[BT]-1
beide Seiten von links mit (A.B)T multiplizieren:
E = (A.B)T.[AT]-1[BT]-1
dann schrittweise von rechts mit BT und dann mit AT multizplizieren, so dass die inversen Matrizen wegfallen
man erhält dann:
BT.AT = (A.B)T
vertauscht man dann noch die beiden Seiten,
dann hat man gezeigt, was man zeigen sollte
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 31. Januar, 2001 - 18:59:   Beitrag drucken

Hallo Michael H,
Dein Beweis ist aber nur im Spezialfall anwendbar, wenn A und B (n x n) also quadratische Matrizen sind, die überdies noch invertierbar sein müssen!

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