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Karl
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 11:30: |
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Bitte dringend um Hilfe!! Kann diese Aufgabe nicht loesen! Betrachte das regulaere Dreieck (1, (-(1/2)+(i/2*sqrt(3))), (-(1/2)-(i/2*sqrt(3))) ) und beschreibe sein Bild unter w=((z-1)^3)+1. In welchen Punkten ist die Konformitaet verletzt? Wie veraendern sich dort die Winkel? Schon mal Danke im voraus! |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 19:22: |
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Hallo : w = f(z) := (z-1)^3 + 1 ist ueberall konform, wo f'(z) ungleich 0, also ist die Konformitaet genau fŸr z=1 verletzt. Die Ecken sind z0 =1 , z1 := exp(2pi*i/3) , z2 = exp(-2pi*i/3) Die entsprechenden Bildpunkte lauten (rechne bitte alles nach) : f(z0) = 1,f(z1) = 1+sqrt(27)i,f(z2) = 1-sqrt(27)i Die Strecke von z0 bis z1 hat die Parametergleichung z = 1 + t(z1 - 1) = 1 + t sqrt(3)i e^(Pi*i/3), 0=< t =< 1 Der Bildpunkt w(t) durchlaeuft dabei die Strecke w(t) = 1 + t^3 sqrt(27)i Ensprechendes gilt fŸr die Strecke z0,z2. Die Dreiecksseite z1 , z2 lautet in Parameterform z = -(1/2) - ti , -sqrt(3)/2 =< t =< sqrt(3)/2 Die Bildkurve ist somit gegeben durch w = f(- 1/2 - ti) = u(t) + v(t) i wobei u(t) quadratisch und v(t) kubisch in t ist. Das ergibt eine parabelfoermige zur reellen Achse symmetrische nach rechts geoeffnete Kurve. Bitte nachrechnen. Gruss Hans |
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