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Regulaeres Dreieck

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Karl
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 11:30:   Beitrag drucken

Bitte dringend um Hilfe!! Kann diese Aufgabe nicht loesen!
Betrachte das regulaere Dreieck (1, (-(1/2)+(i/2*sqrt(3))), (-(1/2)-(i/2*sqrt(3))) ) und beschreibe sein Bild unter w=((z-1)^3)+1. In welchen Punkten ist die Konformitaet verletzt? Wie veraendern sich dort die Winkel?

Schon mal Danke im voraus!
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Januar, 2001 - 19:22:   Beitrag drucken

Hallo :

w = f(z) := (z-1)^3 + 1

ist ueberall konform, wo f'(z) ungleich 0, also
ist die Konformitaet genau fŸr z=1 verletzt.
Die Ecken sind

z0 =1 , z1 := exp(2pi*i/3) , z2 = exp(-2pi*i/3)

Die entsprechenden Bildpunkte lauten (rechne bitte alles nach) :

f(z0) = 1,f(z1) = 1+sqrt(27)i,f(z2) = 1-sqrt(27)i

Die Strecke von z0 bis z1 hat die Parametergleichung

z = 1 + t(z1 - 1) = 1 + t sqrt(3)i e^(Pi*i/3),
0=< t =< 1

Der Bildpunkt w(t) durchlaeuft dabei die Strecke

w(t) = 1 + t^3 sqrt(27)i

Ensprechendes gilt fŸr die Strecke z0,z2.
Die Dreiecksseite z1 , z2 lautet in Parameterform

z = -(1/2) - ti , -sqrt(3)/2 =< t =< sqrt(3)/2

Die Bildkurve ist somit gegeben durch

w = f(- 1/2 - ti) = u(t) + v(t) i

wobei u(t) quadratisch und v(t) kubisch in t ist.
Das ergibt eine parabelfoermige zur reellen Achse
symmetrische nach rechts geoeffnete Kurve.
Bitte nachrechnen.

Gruss

Hans

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