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Beitrag |
    
Winky
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 16:06: | 
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Hallo! Ich bin NWI-Student und brache unbedingt meinen Mathe3-Schein! Bitte helft mir!!!
Zur Erläuterung: x=zeta, y=eta, f=phi
Sei C die Kugel x1^2+x2^2+(x3-0,5)^2=0,25 und z=x+iy=f(x1,x2,x3) die Projektion der Kugel aus N=(0,0,1) auf die x1-x2-Ebene. Leite Formeln für f und f^(-1) her und beweise die Kreisverwandtschaft der Abbildungen.
Komme damit voll nicht klar! Vielen Dank im voraus! |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 17:54: |
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Hallo :
Hier eine Anleitung, rechnen musst Du schon selbst.
Es handelt sich also bei f um die stereographische
Projektion der Kugel k auf die (x_1,x_2) - Ebene.
Der Projektionsstrahl von N durch einen variablen
Punkt P = (x_1,x_2,x_3) auf k trifft die (x_1,x_2)-Ebene in (x,y,0) (oder also in z=x+yi,
wenn man die Grundebene als komplexe Zahlenebene
auffasst). Mit Hilfe der Vektorgeometrie
(Parametergleichung der Geraden NP) rechnet man
den Durchstosspunkt von NP mit der Ebene x_3 = 0
aus:
(x,y,0) = (0,0,1) + s(x_1,x_2,x_3 - 1)
Die 3. Komponente besagt : s = 1/(1-x_3),
also lauten die Abbildungsgleichungen fŸr f :
x = x_1/(1-x_3) , y = x_2/(1-x_3)
Dieselbe Ueberlegung fŸr f^(-1) :
(x_1,x_2,x_3) = (0,0,1) + t(x,y,-1),
daraus t und schliesslich x_1,x_2,x_3 als
Funktionen von x,y.
Kreisverwandschaft heisst : das f-Bild eines
Kugelkreises ist ein (evtl. ausgearteter)
Kreis in der Grundebene. Ein Kugelkreis entsteht
durch schneiden von k mit einer Ebene E
E : ax_1 + bx_2 + cx_3 + d = 0.
Setzt man die soeben erhaltenen Formeln fŸr
x_1,x_2,x_3 hierin ein, so kommt formal
eine Kreisgleichung
A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D = 0
heraus.
Viel Erfolg
Hans |
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