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Beitrag |
    
Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 23:16: | 
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Hallo Leute!
Ich suche Stammfunktionen zu den folgenden Funktionen:
a) f(x) = e^(2x) * cos x
und
b) f(x) = (1/x-2) * (1/x-3)
und
c) f(x) = (ln x)/x
Für wertvolle Hinweise bin ich sehr dankbar! |
IQzero
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 01:01: |
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Hi Lars!
Gleich zur Sache!
§ soll mal das Integralzeichen sein.
a)
Die erste geht mit partieller Integration:
§ e^(2x) cos(x) dx = sin(x) e^(2x) - § sin(x) 2e^(2x) dx
{ nochmal partiell integrieren }
=> § e^(2x) cos(x) dx = sin(x) e^(2x) - [ -cos(x) 2e^(2x) - § -cos(x) 4e^(2x) dx ]
=> § e^(2x) cos(x) dx = sin(x) e^(2x) +2cos(x) e^(2x) - 4 § cos(x) e^(2x) dx
{ jetzt kommt der Trick: auf beiden Seiten '4 § cos(x) e^(2x) dx' addieren }
=> 5 § cos(x) e^(2x) dx = sin(x) e^(2x) +2cos(x) e^(2x)
{ jetzt nur noch auf beiden Seiten durch 5 teilen }
=> § cos(x) e^(2x) dx = 1/5 sin(x) e^(2x) + 2/5 cos(x) e^(2x)
===============================================
fertig ist F(x)
b)
Um 1 / (x-3)(x-2) vernünftig integrieren zu können machst Du zuerst Partialbruchzerlegung. Die entstandene Summe:
1/(x-3) - 1/(x-2)
lässt sich dann einfach integrieren:
§ 1 / (x-3)(x-2) dx = § 1/(x-3) - 1/(x-2) dx
=> § 1 / (x-3)(x-2) dx = ln|x-3| - ln|x-2|
===============================
Die Hauptarbeit steckt also hier in der Umformung der Funktion. Wenn Du nicht weisst wie man die Partialbruchzerlegung durchführt, dann melde Dich einfach nochmal.
c)
Die hier geht wieder mit partieller Integration:
§ 1/x ln(x) dx = ln(x) ln(x) - § ln(x) 1/x dx
{ wieder der Trick von oben, also auf beiden Seiten das Integral addieren }
=> 2 § 1/x ln(x) dx = ln(x)²
=> § 1/x ln(x) dx = 1/2 ln(x)²
======================
Ich hoffe Du kannst das nachvollziehen. Anderenfalls schreib noch mal! |
Lars (Fischtowner)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 15:57: |
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Hi!
Erstmal vielen Dank für die schnelle und ausführliche Hilfe!
Kannst du die Partialbruchzerlegung aus der zeiten Aufgaben vielleicht noch erläutern?
Danke!
Gruß, Lars |
IQzero
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 20:56: |
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Hi Lars!
Du hast gesehen dass sich die Funktion als Summe ungeformt besser integrieren liess. Daher ist es vorteilhaft eine gebrochenrationale Funktion in eine Summe zu zerlegen. So lässt sich z.B. eine Funktion vom Typ:
f(x) = ax+b / x²+cx+d
auch als
f(x) = e/(x-f) + g/(x-h)
schreiben, wenn f und h die Lösungen von x²+cx+d=0 sind, also (x-f)(x-h)=x²+cx+d ist. Die p-q-Formel oder Vieta liefert die Lösung.
Bleibt also die Berechnung von der Zähler e und g. Dazu ein Beispiel:
(3x+10) / (x²+7x+12)
{ Nenner faktorisieren: x²+7x+12=0 => x=-3 v x=-4 }
= (3x+10) / (x+3)(x+4)
= a/(x+3) + b/(x+4)
{ ein passendes a und b muss jetzt noch bestimmt werden, dazu erweitern wir auf den Hauptnenner:
= a(x+4) / (x+3)(x+4) + b(x+3) / (x+3)(x+4)
= ax+4a / (x+3)(x+4) + bx+3b / (x+3)(x+4)
= ax+4a+bx+3b / (x+3)(x+4)
= (a+b)x+(4a+3b) / (x+3)(x+4)
{ Der Koeffizientgenvergleich von 3x+10 mit (a+b)x+(4a+3b) liefert zwei Bedingungen für ein lineares Gleichungssystem: }
I: a + b = 3
II: 4a + 3b = 10
----------------
II-3*I: a = 1
==========
a in I: 1 + b = 3
=> b = 2
=======
also ist
(3x+10) / (x²+7x+12) = 1/(x+3) + 2/(x+4)
Für die Integralrechnung bedeutet das:
§ (3x+10) / (x²+7x+12) dx
= § 1/(x+3) + 2/(x+4) dx
= ln|x+3| + 2ln|x+4|
Du kannst ja mal versuchen diese Methode auf deine 2. Aufgabe anzuwenden. Was dabei herauskommen weisst Du ja bereits. Wenn es nicht klappt dann melde Dich noch mal. |
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