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Beitrag |
    
Andi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 19:27: | 
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Beim Spiel Master-Mid steckt Spieler A eine Reihe von vier (nicht notwendig verschiedenen) farbigen Stiften in die vorgesehenen Positionen. Spieler B hat die Aufgabe, mit möglichst wenigen Versuchen diese von A hergestellte Reihe zu finden. Dazu steckt er offen ebenfalls jeweils vier Stifte in eine Reihe. Diese Versuche des Spielers B sind von A jeweils dadurch zu bewerten, daß jede von B richtig positionierte Farbe mit einem schwarzen Punkt und jede in der Reihe von B richtige Farbe, die aber am falschen Platz steht, mit einem weißen Punkt bewertet wird.
(1) Wieviele verschiedene Reihen kann Spieler A aus den 6 Farben r(ot), g(ruen), b(lau), o(range),.... herstellen ? Begründen Sie, warum diese Zahl die Grundlage für die Berechnung der nachfolgend zu bestimmenden Wahrscheinlichkeiten darstellt.
(2 ) Der Spieler B steckt die Farbkombination r b g g und erhält als Antwort von Spieler A vier weiße Punkte. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft dieser Fall ein?
(3 ) Welche Informationsmenge (in Bit) benötigt Spieler B zur Entschluesselung der von A erzeugten Kombination vor seinem ersten Versuch und nach seinem oben geschilderten ersten Versuch ?
(4 ) Wieviele Versuche benötigt der Spieler B nach der oben angegeben ersten Antwort von A im Mittel noch, um die von A gesetzte Farbkombination zu entschlüsseln (d.h. vier schwarze Punkte als Antwort zu erhalten) ?
Dabei sei zunächst vorrausgesetzt, daß B nur solche Farbkombinationen als Fragen steckt, die mit den bisherigen Antworten von A verträgöich sind (d.h auf die jeweils gestellte Frage muß die Antwort : „vier scharze Punkte möglich sein).
(5 ) Untersuchen Sie, ob als zweite Frage z.B. die Kombination r r b b (oder eine andere von Ihnen gewählte Kombination) der Kombination g r b g vorzuziehen ist. Welche weiteren Fragen müßten dann (in Abhängigkeit von den jeweiligen Antworten) noch gestellt werden, um möglichst schnell die von A gesetzte Farbkombination zu entschlüsseln ?
Wieviel Versuche benötigt der Spieler B dazu im Mittel? |
Andiselber
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 21:36: |
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Ich habe schnell selber ne Lösung entwickelt, würde aber gerne eure Meinung dazu hören.(1)
Spieler A kann folglich jeweils 6 verschiedene Farben in jede der vier Positionen stecken. Die Anzahl der möglichen Kombinationen lautet :
Anzahl := 64 = 1296
Spieler B hat demnach eine Chance von P(X) = 1 / 1296 ,um die richtige Kombination sofort, also beim ersten Versuch, zu erraten.
(2) (rbgg) ergibt folgende moegliche Kombinationen, bei denen die genannten Farben nicht dieselbe Stelle belegen : (ggrb) und (ggbr).
Also wird nur bei den Kombinationen (ggrb) und (ggbr) dem Spieler ein Trefferbild von vier weißen Steinen anerkannt.
P(X)=guenstige Kombinationen (ggrb) und (ggbr) / moegliche Kombinationen
P(X)= 2/1296
P(X)=1/648
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/648 wird
(3) Vor dem ersten Versuch betraegt wie gesagt, die Wahrscheinlichkeit des sofortigen
Erfolgs 1/1296.
pi = 1/1296
1296
H(X) = - S ( pi * log2 (pi) )
i >1
H(X) = - 1296 * 1/1296 * log2 (1/1296)
H(X) = log2 (1296)
H(X) = ln(1296) / ln2 = 10,3398500028846247258149557757913 (bit)
Spieler B braucht vor dem ersten Versuch eine Informationsmenge von 11 bit, um das Ergebnis sicher zu erraten.
Nachdem Spieler B das Trefferbild mit vier weißen Steinen erhalten hat, steht seine Chance bei 50% die richtige Kombination zu erraten, wenn er geschickt mit der Kombination (ggrb) bzw. (ggbr) fragt.
pi = 1/1296
...
H(X) = ln2 / ln2 = 1 (bit)
Folglich betraegt die fehlende Informationsmenge 1 bit.
(4) Wenn folglich der Tip den sofortigen Erfolg mit einschließen soll, dann gibt es nur die
beiden Folgekombinationen (ggrb) bzw. (ggbr) , die erlauben ein Trefferbild von 4
scharzen Stiften zu erhalten.
Mittel = (mindestens 1 + höchstens 2) / 2
Mittel = 1.5
Er braucht demnach 1.5 Versuche im Schnitt, um das Ergebnis zu erraten.
(5) Die Kombination (rrbb) ist der Kombination (grbg) nicht vorzuziehen, da die Stifte
g, g, r, b folglich im Ergebnis erscheinen müssen.
Daraus folgt :
Jede Kombination, die nicht wieder alle „weißen“ Farben enthaelt ist ungünstiger.
Die Kombination (ggrb) ist der Kombination (grbg) vorzuziehen, da mehr Vertauschungen mit beibehaltenen Farben vorgenommen wurden.
Daraus folgt :
Jede Kombination, die mehr Vertauschungen mit den beibehaltenen „weißen“ Farben. |
Andiselber
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 21:41: |
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..enthält, ist günstiger.
PS : Es heisst Summe 1 > i > 1296 |
Andiselber
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 21:44: |
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bzw. Summe von i zwischen 1 und 1296
( ...dummer Zeichensatz...) lol
also nicht 1>i>1296 lol
Bitte korrigiert das und loescht die letzten Erläuterungen. |
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