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Beitrag |
    
Kay Schönberger (Kay_S)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 09:54: | 
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Hallo,
Ich habe eine Frage zur Integralrechnung:
Stimmt es, daß
ò0 unendl. x/(e^x+1) dx = p^2/12
ist?
Über eine Antwort mit Begründung würde ich mich sehr freuen! |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 14:54: |
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Hallo Kay,
das ist wirklich einmal eine interessante Frage. Ja Du hast recht, dieses bestimmte Integral hat den Wert p2/12.
Der Beweis ist durchgehend elementar möglich, ist aber nicht so offensichtlich. Ich muß etwas ausholen (eine unabhängige kurze Lösung kommt unten). Die Schwierigkeit besteht darin, daß die Funktion x/(ex+1) keine elementare Stammfunktion bestitzt. Es gibt jedoch viele bestimmte Integrale, die einen elementaren Wert (wie hier p2/12) besitzen, obwohl das zugehörige unbestimmte Integral nicht elementar ist. Mit Hilfe einer höheren Funktion, dem Dilogarithmus Log2 x, kann das unbestimmte Integral jedoch berechnet werden. Der Dilogarithmus ist eine Verallgemeinerung des Logarithmus, er hat die Ableitung -Log(1-x) / x.
Es gilt int x/(ex+1) dx = x2/2 - xLog(1+ex) - Log2 (-ex). Versuche das mal durch Ableiten zu verifizieren.
Interessant ist die Taylorentwicklung: Log2 x = x + x2/22 + x3/32 + x4/42 + ... in |x| <= 1. Dies folgt einfach durch Integration der Reihe
-Log(1-x) / x = 1 + x/2 + x2/3 + x3/4 + ... in |x| < 1.
Es gilt Log21 = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = p2/6 und Log2(-1) = 1 - 1/22 + 1/32 - 1/42 + ... = p2/12. Die 2. Reihe erhalten wir, wenn wir das doppelte vom vierten Teil der 1. Reihe [= 2(1/22 + 1/42 + 1/62 + ...)] von sich selbst abziehen.
Das gesuchte Integral läßt sich mit Hilfe des Wertes Log2(-1) = p2/12 aus dem obigen unbestimmten Integral berechnen. Es sind aber noch einige Grenzwerte für x->Inf zu berechnen. Alles zusammen ist dieser Weg zu aufwendig. Das war die systematische Lösung, das ganze lässt sich aber stark vereinfachen:
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Wir berechnen zunächst mit der Substitution t = 1-e-x, dt = e-x dx, x = -Log(1-t) das bestimmte Integral
int[0,inf] x/(ex-1) dx = int[0,1] -Log(1-t) / t dt.
Für den Integrand setzen wir die Taylorreihe ein:
-Log(1-t) / t = 1 + t/2 + t2/3 + t3/4 + ... , |t| < 1. Potenzreihen dürfen in ihrem Konvergenzkreis gliedweise integriert werden, von 0 bis 1 erhalten wir:
J := int[0,inf] x/(ex-1) dx = [t + t2/22 + t3/32 + t4/42 + ...]01 = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = p2/6.
Die Summierung der reziproken Quadratzahlen übergehe ich hier aber. In den letzten Jahren sind hierfür einige ganz nette Beweise gefunden worden, die kurz und vollkommen elementar sind (d.h. keine Funktionentheorie oder Fourrier-Reihen benutzen).
Hieraus folgt jetzt mit einem simplen Additionstrick unser I := int[0,inf] x/(ex+1) dx
J - I = int[0,inf] 2x/(e2x-1) dx = J/2. Also I = J - J/2 = J/2 = p2/12.
Wenn Dich diese Materie weiter interessiert, dann guck mal in das schöne Buch Leonard Lewin: Polylogarithms and associated functions, 1981.
Dort steht auch der wohl einfachste und kürzeste Beweis für 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = p2/6, er benötigt allerdings komplexe Zahlen. Und nervt ruhig auch mal die Profs mit solchen Fragen, die durchaus einen tiefen Hintergrund haben.
Ich weiß nicht, ob und in welchem Semester Du Mathe studierst -- doch wie bist Du auf das Problem gestoßen? Falls etwas unkar, frage bitte nach. |
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