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Nicole (Colly)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 21:38: | 
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Hallo!
Hab folgende Aufgabe zum "Selbsttest" vom meinem Mathe-Prof erhalten:
lim (Summe für k von 1 bis n) (1/k)!
Hätte gedacht die Lösung wäre evt. 1
Es wäre ganz lieb, wenn ihr mir den richtigen Lösungsweg schreiben würdet.
Vielen Dank im voraus.
MfG Nicole |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 11:37: |
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Hallo Nicole,
nein, nicht ganz, die Lösung lautet
g = e - 1. (g = Grenzwert)
Und dieses Ergebnis erhalten wir folgendermaßen:
Zunächst machen wir einen kleinen Kunstgriff und können damit sehr einfach und schnell auf unser Ergebnis schließen. Das Wesentliche ist nämlich, dass man erkennt, dass die Faktultät 1/k! in der legendären Reihe der natürlichen Exponentialfunktion enthalten ist. Die Reihe lautet:
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! usw.
Für unser k gilt also hier auch: k = 1,2,3,4...n.
Besonders deutlich wird das wenn wir x = 1 setzen, dann erhalten wir
e1 = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/k!
Die zweite 1 entspricht dann dem Wert 1/1!. Nun, wenn wir bewiesen haben, das die Reihe oben gegen e1 bzw. ex strebt (das kannst du in einem guten Analysis-Buch nachlesen) dann vollzieht sich der Rest unseres kleinen Beweises sehr einfach:
Wenn wir noch die erste 1 subtrahieren, erhalten wir auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens vollständig die Reihe von 1/k! für k -> oo:
e1-1 = 1 + 1/2! + 1/3! + ... + 1/k!
und das war zu zeigen.
Ich hoffe sehr, das ich Dir weiterhelfen konnte. Gleichwohl erstaunt es mich, das Wirtschaftswissenschaftler solche Beweise führen müssen, dazu ist eigentlich die Kenntnis über Reihen und Folgen nötig, und zwar von McLaurin & Co. Vielleicht kannst Du mir ja mal über deinen mathematischen Alltag für das Wirtschaftsstudium berichten, würde mich mal interessieren!
Viele Grüße
 Oliver |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 12:08: |
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Hallo Nicole,
da hätte ich noch eine kleine Übungsaufgabe für Dich:
lim 1/(k+1)! für k = 1 bis k -> 00
Kleiner Tip: Verfahre so wie oben und benutze vorher (k+1)! = k!*(k+1)
Lösung: g = e - 2
Viel Spaß!
Gruß
Oliver |
Nicole (Colly)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 19:36: |
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Hallo Oliver!
Vielen Dank, daß Du Dir mir bei meiner Aufgabe behilflich warst.
Leider ist mir ein kleiner Schreibfehler unterlaufen, so daß die Aufgabe ne ganz andere Bedeutung bekommt.
Die richtige Aufgabe lautet: lim (Summe für k von 1 bis n) (1/k)
Das Fakultätszeichen war eigentlich nur ein Ausrufezeichen. SORRY!!!, daß ich
nicht darauf geachtet habe, aber ich habe zum erstenmal auf diesem Wege
"mathematische Hilfe" gesucht.
Ich würde mich sehr freuen, wenn Du mir auch bei dieser Aufgabe helfen
würdest und mir den Lösungsweg erklärst.
Um Dir meinen "supertollen" mathematischen Alltag etwas zu erläutern, muß ich
Dir ja eigentlich gestehen, daß sich dieser zum Glück in Grenzen hält.
Bin froh, wenn ich aus der einen Mathevorlesung wenigstens n bißchen verstehe,
was leider viel zu selten vorkommt. Hatte nicht mit sooooooviel Mathe im BWL-Studium gerechnet. Bin erst im ersten Semester und zum Glück haben wir Mathe nur in den ersten beiden Semestern. Im Moment muß ich mich auf meine
erste Matheklausur "vorbereiten", ich hoffe es gelingt mir und ich rausche
nicht durch. Naja mal sehn.
Es wäre ganz lieb, wenn Du Dich vielleicht mal melden würdest und mir
auch bei dieser Aufgabe behilflich wärst.
Gruß
Nicole |
OliverKnieps (Oliverk)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Januar, 2001 - 21:53: |
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Hallo Colly,
danke für die Nachricht, der Tippfehler ändert die Sachlage (und die Schwierigkeit der Aufgabe!) natürlich enorm, stattdessen vollzieht sich unser Beweis jetzt noch schneller:
Zu Bestimmen ist also der Grenzwert der Partialsumme von k = 1 bis n->oo von 1/k.
Wenn wir diese Reihe einmal ausführlich schreiben erhalten wir Sn:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +.+1/n
Jetzt formulieren wir dafür eine kleine Ungleichung, und zwar machen wir folgendes: Beginnend ab dem 3. Glied (1/3) fassen wir alle 2,4,8,2n Glieder von Sn zusammen, also 1/3 + 1/4 = 7/12, 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 = 533/840.
Bevor wir nun ganz abenteuerliche Brüche erhalten, komme ich lieber gleich zum Kern: Jeder dieser zusammengefaßten Brüche ist größer als 1/2 (aber kleiner als 1).
Das bedeutet aber mathematisch formuliert folgendes:
Sn > 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
Zur Orientierung der rechten Seite von unserer Ungleichung: die 1. "1/2" wurde noch aus dem "originalen" Sn übernommen. Die 2. "1/2" ist bereits die Folgerung aus dem Zusammenfassen der Glieder: 1/3 + 1/4 = 7/12 > 1/2. Oder: 533/840 > 1/2 für die 3. "1/2" usw.
Und das heißt doch nichts anderes als das Sn für n -> oo selbst gegen oo strebt. Das kann man einfach einsehen, denn wenn wir schon gerade die Ungleichung verifiziert haben und uns die rechte Seite betrachten, dann fällt auf, das diese unweigerlich gegen Unendlich strebt, das erkennt man einfach aus der Schreibweise. Nun, wenn schon die Rechte Seite gegen oo geht, dann sicherlich auch Sn, wegen der Ungleichung.
Damit ist der Beweis abgeschlossen. Man nennt die Reihe für 1/k auch eine sog. "harmonische Reihe".
Ich hoffe sehr, das ich Dir weiterhelfen konnte. Ich mache demnächst mein Wirtschaftsabitur und würde mich freuen wenn DU mir in ein paar BWL-Fragen weiterhilfst, denn das Fach gehört nicht gerade zu meinen Lieblingsfächern. Z.B. Bewegungsbilanzen, Kennzahlen, Liquidität I und II, Bilanz in der AG, Jahresüberschuß usw.... uaaahhh! Melde dich wieder!
Viele Grüße
Oliver |
nicole
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Januar, 2001 - 19:47: |
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Dankeschön, Oliver!!!
Das sieht zum Glück schon n "bißchen" leichter und verständlicher aus, so dass es sogar mir einleuchtet.
In Sachen BWL würde ich Dir natürlich gerne weiterhelfen, wenn ich's denn kann.
Bin ja noch im ersten, aber hab schon ne 3-jährige Ausbildung zur Industriekauffrau hinter mir. Und das hilft mir schon enorm. Also wenn was hast, meld Dich einfach.Würde mich sehr freuen.
Wenn ich mal wieder n Mathe-Problem habe oder n mathematischen Rat/Tipp/Lösung brauche, was garantiert nicht mehr lange dauern wird, werde ich bestimmt mal bei Dir nachfragen.
Könntest mir ja evt. mal Deine e-mail-Adresse geben, dann bräuchte ich nicht über diese Seite gehen.
Also viel Spass noch!
Bis dann!
Nicole |
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