| Autor |
Beitrag |
    
Franziska
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 16:04: | 
|
hallo,
hab da folgende Frage ..wir beschäftigen uns immoment mit Kardinalzahlen..
Ich komme da aber noch nicht so mit, wenns darum geht das es abzählbar unendliche Mengen ,z.B. die der natürlichen Zahlen gibt, und nicht abzählbarunednlcihe wie z.B. die reellen Zahlen. Beide sind unendlich aber R hat mehr Elemente ..diese Beweise peil ich einfach nicht.
Kann mir also wer erklären warum z.B. die menge Q^n (Q=MEnge der rationalen Zahlen) immer gleich viele Elemente hat wie Q selbst..
odre auch wie das mit den unterschiedlichen Unendlichen MEngen ist??
ich hoffe ihr wißt was ich meine..
vielen DAnk
Franziska |
Matthias (Ciao)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. März, 2001 - 15:15: |
|
Hallo,
es gibt mehrere "unendlich", einmal das abzählbar unendlich und einmal das überabzählbar unendlich. Die Menge der natürlichen Zahlen (N) sind (per Definition) abzählbar unendlich. Jetzt sind die ganzen Zahlen (Z) genauso mächtig wie die nur die ganzen positiven Zahlen, weil man eine Bijektion zwischen beiden Mengen angeben kann: Du zeigst einfach, wie Du die Z abzählen kannst; zuerst die 0 und dann immer die 1 und -1, dann die 2/-2 usw., d.h. wenn Du eine Zahl x aus Z hast, kannst Du genau angeben, wann x in Deiner Abzählung käme.
So, für die rationalen Zahlen gibt es auch so ein "Abzähglungsschema", das Cantorsche Diagonalisierungsverfahren.
Die reellen Zahlen sind nun aber echt mächtiger als die rationalen Zahlen, dafür schaue Dir die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen an (z.B. mittels Dedekindschen Schnitt). Diese Menge der rationalen Zahlen heißt, da man keine Abzählung mehr angeben kann, überabzählbar unendlich. D.h., es gibt keine Bijektion zwischen N und R mehr.
Die komplexen Zahlen (C) sind (da die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind) auch überabzählbar.
Das verwirrende ist einfach, daß man mit "unendlich" halt nicht mehr wie gewohnt rechnen kann: obwohl die ganzen Zahlen eine echte Teilmenge der rationalen zahlen sind, sind beide gleichmächtig (das ist halt eine Frage der Definition).
(Natürlich) spielt es für die Abzählbarkeit keine Rolle, ob Du die Menge einmal oder zweimal hast, d.h. Q2 ist genauso mächtig wie Q selber.
Ich hoffe, daß das Ganze es etwas klarer geworden ist. |
|
