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Beitrag |
    
Tommy
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 19:24: | 
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1.Im R^3 sind drei Punkte A(1,1,1), B(2,4,3) und C(-1,2,0) gegeben. Man ermittle eine parameterfreie Gleichung der durch A,B und C bestimmten Ebene e.
Man gebe die Gleichung einer zu e parallelen Gerade g und die Gleichung einer zu e parallelen Ebene e´an!
2.Man untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen
e1: (x,y,z)=(1,1,1)+t(0,1,2)+s(1,-2,1)
e2: 2x+y-z=0
und ermitteln Sie gegebenenfalls die Schnittpunktsmenge!
Mein Vorschlag zur parameterfreien Ebenengleichung
ist 5x-3y+7z=-1. Wenn mir jemand sagen könnte ob dies richtig ist, und mir bei den Restlichen Aufgaben helfen könnte, währe ich sehr dankbar. |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 10:02: |
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Hallo :
Hier ein paar Hinweise (rechne soviel wie moeglich
selbst):
1. u:=B-A = (1,3,3) , v:=C-A = (-2,1,-1)
sind 2 linear unabhaengige und zu e parallele Richtungsvektoren. Wir brauchen einen Normalen-
vektor n von e, welcher also zu u und v ortho-
gonal sein soll. Bekanntlich leistet dies das
Kreuzprodukt (Vektorprodukt) :
n = [u,v] = (-5,-3,7)
Somit lautet die Koordinatengleichung von e
e :-5(x-1)-3(y-1)+7(x-1) = 0 <==> 5x+3x-7z=1
Du brauchst uebrigens niemanden, der Deine Resultate nachprŸft, das kannst Du selbst,
naemlich durch die Einsetzprobe!
2. Nach dem Muster von 1. kannst Du nun leicht
die Koordinatengleichung von e1 ermitteln.
Aus ihr liest man den Normalenvektor ab.
Mache Dir klar, dass e1 und e2 genau dann parallel
sind, wenn ihre Normalenvektoren linear abhaengig
sind (d.h.:bis auf einen Faktor Ÿbereinstimmen).
Wie ermittelt man die Schnittgerade von 2 Ebenen aus ihren Koordinatengleichungen ?
Man hat ein Gleicungssystem aus 2 linearen
Gleichungen in 3 Variablen. Man "ernennt" also
eine Variable zu einem Parameter (z.B. z =:t)
und loest nach den beiden anderen Variablen
(z.B. x , y) auf, dann hat man
x = x_0 + t a , y = y_0 + t b , z = t
was man natŸrlich als Vektorgleichung schreiben
kann :
(x,y,z) = (x_0,y_0,0) + t (a,b,1)
Man kann sich auch ueberlegen, dass der Richtungs-
vektor der Schnittgeraden senkrecht zu beiden
Normalenvektoren ist, also proportionl zu ihrem
Kreuzprodukt.
Have fun
Hans |
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