| Autor |
Beitrag |
    
Bart
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 17:01: | 
|
Hallo ihr Genies,
es geht um die Normalparabel f(x)=x^2. Gegeben seien zwei reelle Zahlen a und b, wobei a < b gilt. Dazu noch ein t, für das die Tangente parallel zur Sekante für a und b ist.
Zeige:
Der Flächeninhalt des Parabelsegments verhält sich zum Flächeninhalt des Dreiecks durch die Punkte (a,a^2),(b,b^2),(t,t^2) wie 4:3.
Bitte helft mir...
Bart |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 08:17: |
|
Hallo :
Mit Verlaub, die Formulierung der Aufgabe ist
gelinde ausgedrŸckt anfechtbar : Was bedeutet
"Dazu noch ein t, fŸr das..." ?
Ich nehme mal an, dass t die Abszisse des BerŸhrungspunktes der Tangente bezeichnet, welche zur gegebenen Sekante parallel ist. t ist dann natŸrlich nicht gegeben, sondern durch die Sekante schon eindeutig bestimmt : die Sekantensteigung
ist = (b^2-a^2)/(b-a) = b + a, die
Tangentensteigung = 2t, also t = (a+b)/2.
Der Rest ist Routine (Rechne bitte selbst):
1.Flaecheninhalt eines Dreiecks bei gegebenen
Eckpunktkoordinaten : da gibt es z.B. eine
Determinantenformel. 2.Parabelsegment : ist y = mx + q die Gleichung
der Sekante, so ist
Segmentflaeche = Int(a,b)[mx+q-x^2]dx
Have fun
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 26. Januar, 2001 - 14:24: |
|
Hi Bart,Hi Hans,
Wenn man Kenntnisse aus der Elementargeometrie
einsetzen darf, ist die Berechnung des Verhältnisses v der
beiden Flächen A1 des Parabelsegments und der
Dreiecksfläche A2 eine einfache Kopfrechnung.
Sei L die Länge der Parabelsehne und h der Abstand
der zur Sehne parallelen Parabeltangente von der Sehne,
so gilt nach einer schon den alten Griechen bekannten
Flächenformel:
A1 = 2 / 3 * L * h.
h ist zugleich die Höhe h im fraglichen Dreieck zur
Grundlinie L , also
A 2 = ½ * L * h.
Verhältnis v = F1 : F2 = 4 / 3.
Archimedes kannte schon die folgenden Sätze zur Parabel:
Das von zwei Parabeltangenten und der Verbindungsgeraden
ihrer Berührpunkte begrenzte Dreieck wird durch den zwischen den
Berührpunkten liegenden Parabelbogen im Verhältnis 1 : 2 geteilt.
oder:
Die Fläche eines Parabelsegments beträgt 2/3 des Dreiecks,
das von der Sehne und den in ihren Endpunkten gelegten Tangenten
begrenzt wird..
In der Aufgabe ist ein weiterer Parabelsatz verborgen, der allerdings
späteren Datums ist.
Die zu einer Parabelsehne AB parallele Tangente t berühre die Parabel
in T.
Dann halbiert die durch T gelegte Parallele u zur Parabelachse
die Sehne AB. der Parabel.
Diese Eigenschaft hängt damit zusammen, dass die Achsenrichtung
die zu t konjugierte Richtung ist.
Die Berechnungen sind etwas mühsam ,und ich möchte mich
davon dispensieren.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
|
