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Matthias
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 16:36: | 
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Wie kann ich das o.a. Integral lösen!
Komme durch Substitution und Patrielle nicht weiter!!!Vielleicht auch ein Rechenfehler!
Danke
mfg Matthias |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 17:45: |
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Zunächst vereinfachen wir:
Int Log [1/(x^2-2)] dx = -Int Log(x^2-2) dx
Das Integral eines Logarithmus über einem Polynom, läßt sich immer durch eine partielle Integration [ein Faktor=1] auf Integrale rationaler Funktionen zurückführen.
u'=1, u=x
v=Log(x^2-2), v'=2x/(x^2-2)
Für das Restintegral formen wir schon vorab um, wobei w2 für Sqrt(2) steht.
uv' = 2x^2/(x^2-2) = 2 + 4/(x^2-2) = 2 + w2/(x-w2) - w2/(x+w2)
Zuerst haben wir das ganze Polynom abgespalten (hier konstant 2), mit dem Rest Partialbruchzerlegung.
also Int Log(x^2-2) dx = xLog(x^2-2) - 2x + w2Log(x-w2) - w2Log(x+w2).
Jetzt ist es Geschmacksache, ob man die letzten beiden Logarithmen noch zusammen fasst. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 18:17: |
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Hi Matthias,
Es ist reizvoll, Dein Integral J einem
Computer-Algebra-System, z.B. Maple, vorzulegen.
Das Resultat ist umwerfend (aber selbstverständlich richtig);
es lautet:
J = -x ln(x^2 - 2) + 2x - 2 wurzel(2)arctanh(1/2 x wurzel(2)),
also eine Darstellung, in welcher die Areatangens-Funktion
auftritt.
Da wir etwas flexibler sind, formen wir Dein Integral vorher
um :für den Integranden f(x) schreiben wir - ln(x^2 - 2)
und zerlegen noch weiter:
f(x) = - ln [x + wurzel(2) ] - ln [ x- wurzel(2)]
Jetzt sollten wir nur noch wissen, welches das Integral von ln z ist
Wir wissen es !
Int [ ln z ] = z * ln (z) - z .
Es ist nun nicht mehr schwierig, Dein Integral anzuschreiben:
J = - {x + wurzel(2)} * ln {x + wurzel(2)
- { x - wurzel(2)}* ln {x - wurzel(2)} + 2x .
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 18:21: |
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Hi Stefan,
wie Du siehst,führen verschiedene Wege zum fast gleichen Resultat!
Freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 18:48: |
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Hi megamath,
ja, genau. Der kleine Unterschied ist ganz nett.
Zu den Computer-Algebra-Systemen muß ich hier kurz von einer bitteren Enttäuschung berichten.
In den meisten Fällen sind die Resultate "selbstverständlich richtig". Ich benutze fast nur Mathematica, weil es bei einigen Integralen nicht gleich schlapp macht wie z.B. Maple. Seit Jahren begegnen mir hier aber eigentümliche Fehler, die bei ganz seltenen Integralen und Reihen auftreten.
Ich habe ein uneigentliches Integral berechnet, um das Ergebis meiner Rechnung zu prüfen. Es lieferte aber einen falschen symbolischen Wert (betragsmäßig um 1 zu groß), NIntegrate rechnete aber richtig.
Bei einem anderen uneigentlichen Integral lieferte NIntegrate den richtigen Wert, aber Integrate unendlich, obwohl das Integral konvergiert!
Am lustigesten war die Summe einer reellen Reihe, wo NSum einen Imaginärteil um 2.3 lieferte! (Womit es seinen Durchgang durchs Komplexe verraten hatte, und sich dabei gründlich in den Tiefen verirrt hatte.)
Es ist also etwas Vorsicht geboten! |
Matthias
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 19:13: |
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Vielen Dank, Leute! Das rettet mir dir Prüfung morgen in Analysis für informatiker an der tu-wien!
mfg Matthias |
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