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Stammfunktion f(x) = x*arcsin x...

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Ralf
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 14:24:   Beitrag drucken

Wie löse ich das Integral. Ich habs mit der gleichen Methode (partielle Integration) wie bei x*arctan x probiert komme leider bei dem dann rechts stehenden Integral nicht weiter
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 15:11:   Beitrag drucken

Hallo :

Der Integrand
x^2/sqrt(1-x^2)
des Restintegrals laesst sich einfach umformen und lautet danach

1/sqrt(1-x^2) - sqrt(1-x^2).

Gruss

Hans
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Stefan (Stefan26)
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 15:16:   Beitrag drucken

Wie Du schon richtig vermutest hast, wird dieses Integral mittels part. Int. berechnet (wie alle Integrale der Bauart Polynom*f, wobei die Ableitung von f aus rationalen Funktion und Quadratwurzeln aus einem Quadratischem Polynom bestehen muß.)

Der Trick besteht darin, solange partiell zu integrieren bis das Restintegral bekannt ist, oder sich auf eines der Ausgangsintegrale zurückführen lässt.

Part. Int. mit
u'=2x, u=x^2-1
v=Arcsin x, v'=1/w(1-x^2) liefert

int 2xArcsin x dx = (x^2-1)Arcsin x + int (1-x^2)/w(1-x^2) dx = (x^2-1)Arcsin x + int w(1-x^2) dx

Dieses Restintegral läßt sich mit part. Int. auf sich selbst zurückführen:
u=1, u'=x
v=w(1-x^2), v'=-x/w(1-x^2)

int w(1-x^2) dx = xw(1-x^2) + int x^2/w(1-x^2) dx = xw(1-x^2) - int (1-x^2)/w(1-x^2) dx + int dx/w(1-x^2)

Rechts, das 2. Integral ist das Ausgangsintegral der linken Seite, also
2int w(1-x^2) dx = xw(1-x^2) + Arcsin x.
Insgesammt also

int xArcsin x dx = x^2/2 Arcsin x - 1/4 Arcsin x + xw(1-x^2)/4.

Hans, kannst Du genauer erläutern wie Du das meinst?
Ich galube nicht, daß man mit einer part. Int. auskommt.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 08:17:   Beitrag drucken

Hallo :

Man kommt sicher mit einer partiellen Integration
aus, denn die Stammfunktionen von

1/sqrt(1-x^2) und sqrt(1-x^2)

sind Grundintegrale und somit lautet das Rest-
integral

(1/2)int(x^2/sqrt(1-x^2) =

(1/4)[arcsin(x) - x sqrt(1-x^2)] + C

Hans
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Stefan (Stefan26)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 13:00:   Beitrag drucken

Hallo Hans,

alles klar, int w(1-x2) hatte ich nicht als Grundintegral angesehen. Zugegeben es ist Ansichtssache, aber als Grundintegrale erkenne ich nur die Integrale der Ableitungen von unverketteten elementaren Funktionen an. Also Integrale der Ableitungen von xk, sin x bis cot x, ex und der zugehörigen Umkehrfunktionen. int dx/w(1-x2) = Arcsin x ist also Grundintegral, aber int w(1-x2) dx = 1/2 [w(1-x2) + Arcsin x] nicht, weil rechts keine unverkettete Funktion steht.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Januar, 2001 - 21:19:   Beitrag drucken

Hallo Stefan :

Da gebe ich Dir Recht, das ist Ansichtssache.
Ich nehme da eher einen praktischen Standpunkt ein: Grundintegral ist, was man sofort aus einer
bescheidenen Formelsammlung (Schulniveau) ablesen kann, z. B. unser (Schweizerisches) Standardwerk
DMK Formeln und Tafeln.

Gruss

Hans

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