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Georg
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 18:50: | 
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Welche Kurve 2. Ordnung beschreibt die folgende Gleichung: 2xy + x - y = 3/2 --> Transformationsmatrix
danke für die Hilfe,
Georg |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 08:26: |
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Hallo :
Versuche es mal mit der Transformation
x = (x' + y')/sqrt(2) , y = (x' - y')/sqrt(2)
Hans |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 09:00: |
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Hi Georg,
I.Teil:
Bevor wir die eigentliche Hauptachsentransformation
mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenvektoren durchführen,
schaffen wir in der gegebenen Gleichung zweiter Ordnung
die linearen Terme weg.
Dies geschieht durch eine Parallelverschiebung des
Koordinatensystems; neuer Nullpunkt eines (u,v) Systems
soll der Mittelpunkt M des Kegelschnittes werden.
Dass es sich um eine Hyperbel handelt, ist kein Geheimnis.
Wir finden M als Schnittpunkt der Asymptoten
Lösen wir die gegebene Gleichung nach y auf, so präsentieren
sich die Asymptoten von selbst in der Funktionsgleichung
y = (3 - 2 x ) / ( 4x - 2) :
vertikale Asymptote (Nenner null) : Gleichung x = ½
horizontale Asymptote (Grenzwert von y für x gegen unendlich):
.............................................................Gleichung : y = - ½
Mittelpunkt der Hyperbel: xM = ½ , yM = - ½ .
Da die Asymptoten aufeinander senkrecht stehen,
handelt es sich übrigens um eine Normalhyperbel.
Transformationsgleichungen der Parallelverschiebung:
x = u + ½ , y = v - ½ wir in die gegebene Gleichung eingesetzt
Es entsteht die von linearen Termen freie Gleichung in u , v der
Hyperbel ,nämlich 2 u v = 1 .
Wir schreiben diese Gleichung wiederum mit x , y -Koordinaten
und behandeln im zweiten Teil die quadratische Form
Q(x,y) = 2 x y und die Gleichung der Hyperbel in der Form
2 x y = 1
II.Teil
Zuerst notieren wir die symmetrische (2,2)-Matrix A der
quadratischen Form. Ihre Elemente aik sind die Koeffizienten
der quadratischen Glieder x^2 , x y , y^2 und lauten:
a11 = 0 , a12 = a21 = 1 , a22 = 0.
Achtung: a12 = a21 ist die Hälfte des Koeffizienten von xy.
Dann bildet man die Matrix B aus A, indem man von
den Elementen der Hauptdiagonalen L subtrahiert ;
die Matrix B lautet demnach:
b11 = - L , b12 = b21 = a12 = a21 = 1,
b22 = - L.
Nun berechnet man die Determinante det(B) von B und
setzt diese null; die quadratische Gleichung in L heisst
charakteristische Gleichung ,ihre Lösungen sind die Eigenwerte.
Aus det (B)= L^2 - 1 = 0 findet man die Eigenwerte
L1 = 1 , L2 = - 1 .
Mit Hilfe der Eigenwerte berechnet man die Eigenvektoren wie folgt:
(1)
Zum Eigenvektor L1 = 1 gehörender Eigenvektor e1
Die Koordinaten x , y dieses Vektors ergeben sich aus der ersten
Zeile der Matrix B:
Die Gleichung lautet:
- x + y = 0
eine der beiden Variablen x , y ist frei wählbar.
Wir wählen etwa y = 1 , dann kommt x = 1
Den Vektor {1 ; 1} multiplizieren wir mit
dem Reziprokwert 1 / wurzel(2) seines Betrages , damit aus ihm ein
Einheitsvektor e1 wird:
e1 = 1 / wurzel(2) * { 1; 1 } .
(2)
Zum Eigenwert L2 gehörender Eigenvektor e2.
Wir setzen L2 = - 1 in die erste Zeile der Matrix B ein
und erhalten die Gleichung
x + y = 0
jetzt sei y = 1 , daraus folgt
x = - 1 ; zum Einheitsvektor gemacht:
e2 = 1 / wurzel(2) *{ - 1 ; 1}
Beachte : die Eigenvektoren e1 , e2 stehen aufeinander
senkrecht, da ihr Skalarprodukt null ist.
Schon mit den Eigenwerten allein erhalten wir die Gleichung
des Kegelschnitts im neuen Koordinatensystem X,Y,
das gegenüber dem alten System gedreht ist,
und zwar so, dass in der Gleichung der Kurve zweiter Ordnung
kein Glied X * Y vorkommt.
Die transformierte Gleichung lautet nämlich :
L1 * X ^ 2 + L2 * Y ^ 2 = 1 , in unserem Fall also:
X ^ 2 - Y ^ 2 = 1 ;
die fragliche Kurve ist somit eine
Hyperbel mit den Halbachsen a = 1 , b = 1 ,
also eine gleichseitige Hyperbel, m.a.W. eine Normalhyperbel.
Die Eigenvektoren verwenden wir als KOLONNENVEKTOREN
einer Matrix T, die sich als Matrix der vorhin erwähnten Drehung
herausstellt.
In Koordinaten lautet die Transformation
(in der Richtung alte Koordinaten x, y durch die neuen X, Y )
x = 1/wurzel(2) * [ X - Y ]
y = 1/wurzel(2) * [X + Y ]
Setz man dies in die Gleichung der gegeben Kurve 2 x y = 1 ein,
so erlebt man mit Genugtuung, dass kein Glied X * Y
vorkommt und der Kegelschnitt bezüglich des neuen Systems
nicht verdreht ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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