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Mike (Dawsonleery)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 16:07: | 
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Hallo, kann mir bitte jemand die Hauptachsentransformation etwas verständlicher erklären als an der Uni?
Hier die Aufgabe:
"Gegeben sei die quadratische Form
q(x)=-23x²-26*(Wurzel aus 3)xy +3y²
Führen Sie eine Hauptachsentransformation durch.Geben Sie die Transformationsmatrix T,sowie die transformierte quadratische Form an und skizzieren Sie die Lösungsmenge der Gleichung q(x) = 144 in der x-y-Ebene."
Mit dem "x" in q(x) ist der Vektor x gemeint,ich hab nur keine Ahnung,wie man das hier auf die schnelle darstellt 
Ich bin wirklich dankbar für jeden vereinfachenden Beitrag, denn Freitag ist das eins der Klausurthemen bei uns... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 22:05: |
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Hi Mike,
Es gibt mehrere Methoden, die Hauptachentransformation
einer quadratischen Form durchzuführen, eine schöner als die
andere !
Du solltest Dir eine dieser Verfahren zu eigen machen,
am besten diejenige,welche - wie schon der Name sagt -
Eigenwerte und Eigenvektoren benützt.
Ich führe Dir zunächst diese Methode vor.
Zuerst notieren wir die symmetrische (2,2)-Matrix A der
quadratischen Form. Ihre Elemente aik sind die Koeffizienten
der quadratischen Glieder x^2 , x y , y^2 und lauten:
a11 = - 23 , a12 = a21 = -13 * wurzel(3) , a22 = 3.
Achtung: a12 = a21 ist die Hälfte des Koeffizienten von xy.
Dann bildet man die Matrix B aus A, indem man von
den Elementen der Hauptdiagonalen L subtrahiert ;
die Matrix B lautet demnach:
b11 = - 23 - L , b12 = b21 = a12 = a21 = - 13 * wurzel(3) ,
b22 = 3 - L.
Nun berechnet man die Determinante det(B) von B und
setzt diese null; die quadratische Gleichung in L heisst
charakteristische Gleichung ,ihre Lösungen sind die Eigenwerte.
Aus det (B)= - L^2 - 20 L + 576 = 0 findet man die Eigenwerte
L1 = 16 , L2 = - 36.
Mit Hilfe der Eigenwerte berechnet man die Eigenvektoren wie folgt:
(1)
Zum Eigenvektor L1 = 16 gehörender Eigenvektor e1
Die Koordinaten x , y dieses Vektors ergeben sich aus der ersten
Zeile der Matrix B:
Die Gleichung lautet:
- 39 x - 13 * wurzel(3) y = 0 oder einfacher :
- 3x - wurzel(3) y = 0 ; eine der beiden Variablen x , y ist frei
wählbar.
Wir wählen etwa x = 1 , dann kommt y = - wurzel(3)
Den Vektor {1 ; - wurzel(3) } multiplizieren wir mit
dem Reziprokwert ½ seines Betrages 2 , damit aus ihm ein
Einheitsvektor e1 wird:
e1 = ½ * { 1: -wurzel(3) } .
(2)
Zum Eigenwert L2 gehörender Eigenvektor e2.
Wir setzen L2 = -36 in die erste Zeile der Matrix B ein
und erhalten die Gleichung
13 x - 13 wurzel(3) y = 0 oder x - wurzel(3) y = 0
jetzt sei y = 1 , daraus folgt
x = wurzel (3) ; zum Einheitsvektor gemacht:
e2 = ½ { wurzel(3) ; 1 }
Beachte : die Eigenvektoren e1 , e2 stehen aufeinander
senkrecht, da ihr Skalarprodukt null ist.
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Nun wollen wir ernten, was wir gesät haben!
Schon mit den Eigenwerten allein erhalten wir die Gleichung
des Kegelschnitts im neuen Koordinatensystem X,Y,
das gegenüber dem alten System gedreht ist,
und zwar so, dass in der Gleichung der Kurve zweiter Ordnung
kein Glied X * Y vorkommt.
Die transformierte Gleichung lautet nämlich (so einfach geht das!)
L1 * X ^ 2 + L2 * Y ^ 2 = 144 ,in unserem Fall also:
16 * X ^12 - 36 * Y ^ 2 = 144 oder
X ^ 2 / 9 - Y ^ 2 / 4 = 1 ;
die fragliche Kurve ist somit eine
Hyperbel mit den Halbachsen a = 3 , b = 2.
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Die Eigenvektoren verwenden wir als KOLONNENVEKTOREN
einer Matrix P, die sich als Matrix der vorhin erwähnten Drehung
entpuppt.
In Koordinaten lautet die TransformationL
(in der Richtung alte Koordinaten x, y durch die neuen X, Y )
x = ½ *X + ½ * wurzel(3) * Y
y = - ½ * wurzel(3) * X + ½ * Y
Setz man dies in die Gleichung der gegeben Kurve zweiter
Ordnung ein, so erlebt man mit Genugtuung, dass die Glieder xy
sich alle wegheben, und man ist für alle Mühen entschädigt.
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Je nach Lust und Laune werde ich Dir noch andere Methoden zeigen
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Mike (Dawsonleery)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 07:08: |
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Danke, megamath! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 09:23: |
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Hi Mike,
Eine Uebungsgelegenheit findest Du ,wenn Du Dich
mit meiner soeben erteilten Antwort an Georg in der
gleichen Sache
(Archiv unter dem Stichwort"verdreht",6.Beitrag)
beschäftigst.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Mike (Dawsonleery)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 14:42: |
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Hab noch eine Frage. Wie gehe ich z.B. bei der Gleichung " 5x^2-6xy-3y^2+2x+18y-43=0 " vor ? Wie bilde ich die Matrix, ändert sich an der sonstigen Vorgehensweise etwas? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 15:42: |
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Hi Mike,
Ich möchte es nicht unterlassen, Dir eine weitere
Methode der Hauptachsentransformation vorzuführen.
Die Methode ist narrensicher, somit für uns in allen Lagen
zu empfehlen
Wir gegen aus von der allgemeinen Gleichung einer Kurve
zweiter Ordnung in der Ebene , also eines Kegelschnittes (KS)
im weitesten Sinn.
Die Gleichung hat 6 Koeffizienten A ,B, C, D, E , F.
Der Freiheitsgrad ist somit 5
(Ein KS ist z.B. durch 5 Punkte allgemeiner Lage bestimmt))
Die Gleichung lautet:
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F= 0
Bei Deinem Beispiel ist nur die quadratische Form ,die durch
die ersten drei Summanden gegeben ist, zu untersuchen
und zwar gilt:
A = - 23 , B = - 13 * wurzel(3) , C = 3
Ein bemerkenswerter Satz, der übrigens leicht zu beweisen ist ,
besagt, dass für den Richtungswinkel alpha
(Winkel mit der +x-Achse) einer Hauptachse des KS die
Beziehung gilt:
tan(2 * alpha ) = 2 * B / ( A -C ); in unserem Fall:
tan(2*alpha) = wurzel(3); daraus 2*alpha = 60° , somit
alpha = 30°.
Wir verwenden nun die bekannten Drehformeln des R2 im
Sinne eines Uebergangs von den neuen Koordinaten (X,Y)
zu den alten (x,y), wobei alpha der Winkel der X-Achse
mit der x-Achse bedeutet.
Diese Formel lautet:
x = X cos (alpha) - Y sin (alpha)
y = X sin (alpha) + Y cos (alpha)
Anwendung auf Dein Beispiel:
x = ½* ( wurzel(3) * X - Y )
y = ½ * ( X + wurzel(3) * Y )
Setz man dies in die gegebene Gleichung ein und rechnet
brav wie immer, so kommt:
- 36 * X ^ 2 + 16 Y ^ 2
Damit ist Deine quadratische Form auf Hauptachsen transformiert
und zwar summa cum laude !
Beachte, dass gegenüber der ersten Methode die Achsen
X und Y vertauscht sind.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 16:40: |
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Hi Mike,
Die von Dir aufgeworfene Frage bereitet keine
Schwierigkeiten . Ich werde später näher darauf
eingehen
Siehe zunächst bei der von Georg gestellten Aufgabe
nach. Dort ist diese Hürde eingebaut und bei der
Lösung souverän gemeistert worden
Nun aber möchte ich Dir eine Hausaufgabe stellen:
probiere als Training für Freitag mit einer der beiden Methoden
die quadratische Form
Q(x) = 5 x ^ 2 - 6 x y - 3 y ^ 2
auf Hauptachsen zu transformieren.
Das Resultat kannst Du mir per e-Mail zustellen;
wenn alles o.k. ist, stellen wir die Lösung der ganzen Aufgabe
ins Netz.
Dieser Auftrag ist selbstverständlich freiwillig!
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 22:04: |
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Hi Mike,
Mit diesen Ausführungen zeige ich Dir, wie man ein
allgemeineres Beispiel behandelt ;ich wähle dazu das
von Dir erwähnte Zahlenbeispiel:
5 x ^ 2 - 6 x y - 3 y^2 + 2x + 18 y - 43 = 0
Die allgemeine Gleichung einer Kurve
zweiter Ordnung in der Ebene lautet bekanntlich:
A x^2 + 2 B x y + C y^2 + 2 D x + 2 E y + F= 0
Für Dein Beispiel gilt:
A= 5 , B = - 3 , C = -3 , D =1 , E = 9 , F = - 43.
Wir haben nun zwei Teilaufgaben zu lösen ,die sich in
zwei verschiedenen Transformationen manifestieren.
1.eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems
auf den Mittelpunkt M des Kegelschnitts.
Neue Achsen des Systems :u,v.
Die quadratische Form bleibt von dieser Transformation
unbehelligt;
die linearen Terme verschwinden und eine neue Konstante
betritt die Bühne des Geschehens..
2 (daran anschliessend) Drehung des Koordinatensystems
um den Mittelpunkt M.,bis das gemischte Glied uv
verschwindet.( eigentliche Hauptachsentransformation)
Die Konstante bleibt bei der Drehung des Systems unverändert
Die Reihenfolge der Teilaufgaben kann auch vertauscht werden .
1 Teilaufgabe
Ermittlung des Mittelpunktes M des Kegelschnitts
Dazu gibt es fertige Formeln.
Der Mittelpunkt ergibt sich als Schnittpunkt der Geraden
g1: Ax + By + D = 0 und
g2: Bx + Cy + E = 0
oder man bestimmt den Mittelpunkt mit Hilfe der
Differentialrechnung, indem man durch implizites
Differenzieren die Ableitung y' ermittelt .Für Dein
Beispiel geht das so (KS-Gleichung nach x ableiten !) :
10 x - 6 y - 6 x y ' - 6 y y' + 2 + 18 y' = 0
nach y' aufgelöst:
y ' = ( 6y - 10 x - 2 ) / (18 - 6x - 6y)
Setzt man nun den Zähler null und auch den Nenner null,
so erhält man genau die vorhin erwähnten Geradengleichungen,
als Schnittpunkt M kommt heraus M (1 / 2 ).
Die angekündigte Transformationsgleichungen der
Parallelverschiebung mit neuem Nullpunkt M lautet:.
x = u + 1 , y = v + 2; damit wird aus unserer Kegelschnittgleichung:
nach sorgfältiger Rechnung:
5 u^2 - 6 u v - 3 v^2 - 24 = 0
Meine Voraussage trifft zu:
Die quadratische Form ist dieselbe, die linearen Terme sind weg
und eine neue Konstante (-24) tritt auf.
Anmerkung
Der Term delta = AC - B^2 entscheidet darüber,welcher KS-Typus
vorliegt.
delta positiv :Ellipse , delta = 0 : Parabel, delta <0 : Hyperbel.
Der Fall der Parabel verlangt eine Spezialbehandlung,
weil sie keinen Mittelpunkt besitzt.
Man wird bei der Parabel sofort mit der Drehung beginnen.
Die oben erwähnten Geraden g1 und g2 sind parallel und
schneiden sich im unendlich fernen Punkt der Parabelachse.
Auf diese Art erhält man (als Kontrolle) die Achsenrichtung
der Parabel und die Kirche ist wieder im Dorf.
Teil 2 mit der Hauptachsentransformation wird morgen
nachgeliefert
Hier das Ergebnis (Lösung der Hausaufgabe!)
Richtungswinkel alpha der neuen X-Achse mit der alten:
tan (alpha ) = 3 , daraus
cos (alpha) = 1 / wurzel(10), sin(alpha) = 3 / wurzel(10)
Gleichung des KS im X,Y System :
- 4 * X ^ 2 + 6* Y ^ 2 = 24 (Hyperbel)
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Mike (Dawsonleery)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 16:12: |
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Eine weitere Hauptachsentransfortmation:
Die Aufgabe (die megamath stellte):
Aus q(x)=5x^2-6xy-3y^2
ergibt sich die Matrix A mit:
a11=5; a22=-3; a12=a21=-3;
Und daraus folgt für die Matrix B:
b11=5-L; b22=-3-L; b12=b21=-3.
Für B ist nun die Determinante zu berechnen.
det(B)=(5-L)(-3-L)-9=L^2-2L-24.
Daraus folgt wieder nach der quadratischen Lösungsformel: L1=-4; L2=6.
L1 ist in die Matrix B einzusetzen:
b11=9; b22=-9; b12=b21=-3.
Ich entnehme die erste Zeile der Matrix:
9x-3y=0 und setze x=1. Daraus ergibt sich y=3.
Der sich ergebende Vektor lautet {1,3}, sein Betrag ist sqrt(10).
Nun multipliziere man den obig genannten Vektor mit dem Kehrwerkt des Betrages,
also 1/(sqrt(10)).
Es folgt: e1=(1/(sqrt(10)))*(1,3).
Nach gleichem Schema setzt man L2 in Matrix B ein, so daß sich ergibt:
b11=-1; b22=-9; b12=b21=-3.
Wieder entnehme man die erste Zeile der Matrix:
-x-3y=0 und setze y=1. Es folgt x=-3.
Es ergibt sich daraus der Vektor {-3,1}, natürlich ebenfalls mit dem Betrag (sqrt(10)).
Als Einheitsvektor schreibt man schließlich 1/(sqrt(10))*{-3,1}. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 17:04: |
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BRAVO MIKE !
Ich wünsche Dir Erfolg für die morgige Prüfung
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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