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Queissner
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 07:54: |
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Habt ihr Langeweile? Ich glaube nicht. Oder? Vielleicht will mir trotzdem jemand helfen: Eine Abbildung zweier metrischer Räume heißt offen, wenn die Bilder offener Mengen stets offen sind. Man zeige: 1) Die Zusammensetzung offener Abbildungen ist offen. 2) f:R->R sei stetig und offen. Dann ist f eineindeutig und f(R)->R ist wieder stetig und offen. 3) Man gebe eine stetige, offene Abbildung f:R^2->R an. 4) Gibt es eine stetige, offene Abbildung f:R->R^2 ? Hoffentlich habt ihr die Zeit. Jetzt, gegen Ende des Semesters brauch ich noch Punkte *mitleiderweck* |
Storch
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 09:46: |
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Langeweile is des falsche Wort, aber wir helfen halt trotzdem: 1) Seien O1, O2 und O3 offene Mengen; f: (O1)=(O2), g: (O2)=(O3) offene Abbildungen. => (g°f)(O1)=g(f(O1))=g(O2)=O3 => g°f ist offen 2) Sei f: R->R stetig und offen, f(O1)=O2 Ann.: f nicht injektiv => es gibt a,b aus O1 mit f(a)=f(b) in O2; f ist stetig => es gibt ein c aus (a,b) mit f(c)=maxO2 oder f(c)=minO2 => O2 ist beschränkt => O2 ist nicht offen => f stetig und injektiv => f^-1 ist stetig (in der Vorlesung bewiesen) f^-1: f(R)->R => f^-1(O2)=f^-1(f(O1))=O1 => f^-1 ist offen 3) folgt heut abend |
Storch
| Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:43: |
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Okay, weiter geht's: 3) f: R^2->R,(x1,x2)->x1 stetig, O1 aus R^2 offen, f(O1)=O2 (1 und 2 sind bei x bzw. O und ab jetzt auch bei a natürlich Indizes und das n bei der Folge (xn) logischerweise auch) sei a=(a1,a2) aus O1 und (xn) beliebige Folge in R^2 mit xn->a (n->unendl.) <=> (x1n,x2n)->(a1,a2) (n->unendl.) <=> x1n->a1 (n->unendl.) lim xn=a => für alle e>0 (soll für Epsilon stehen) gibt es ein N aus den nat. Zahlen, so dass für alle n>N gilt: xn liegt in der e-Umgebung von a für a aus O1 beliebig Beh.: O2 offen f(a)=a1, f(xn)=x1n für alle n aus den nat. Zahlen a1, x1n sind natürlich aus O2 f stetig => f(xn)->f(a) (n->unendl.) <=> x1n->a1 (n->unendl.) => für alle d>0 (steht für Delta) gibt es ein N aus den nat. Zahlen, so dass für alle n>N gilt: x1n ist aus der d-Umgebung von a1 für a1=f(a) aus O2 mit a aus O1 beliebig => O2 ist offen und zu 4) z.B. ist f:R-<R^2, x->(x,x) stetig und dass f offen ist folgt fast direkt aus 3) Ich hoffe, das hilft Dir bzw. bringt ein paar Punkte! |
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