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Kompakter Metrischer Raum

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Queissner
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Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 07:54:   Beitrag drucken

Habt ihr Langeweile? Ich glaube nicht. Oder? Vielleicht will mir trotzdem jemand helfen:

Eine Abbildung zweier metrischer Räume heißt offen, wenn die Bilder offener Mengen stets offen sind. Man zeige:

1) Die Zusammensetzung offener Abbildungen ist offen.

2) f:R->R sei stetig und offen. Dann ist f eineindeutig und f(R)->R ist wieder stetig und offen.

3) Man gebe eine stetige, offene Abbildung f:R^2->R an.

4) Gibt es eine stetige, offene Abbildung f:R->R^2 ?

Hoffentlich habt ihr die Zeit. Jetzt, gegen Ende des Semesters brauch ich noch Punkte *mitleiderweck*
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Storch
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Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 09:46:   Beitrag drucken

Langeweile is des falsche Wort, aber wir helfen halt trotzdem:
1) Seien O1, O2 und O3 offene Mengen; f: (O1)=(O2), g: (O2)=(O3) offene Abbildungen.
=> (g°f)(O1)=g(f(O1))=g(O2)=O3 => g°f ist offen
2) Sei f: R->R stetig und offen, f(O1)=O2
Ann.: f nicht injektiv => es gibt a,b aus O1 mit f(a)=f(b) in O2; f ist stetig => es gibt ein c aus (a,b) mit f(c)=maxO2 oder f(c)=minO2 => O2 ist beschränkt => O2 ist nicht offen
=> f stetig und injektiv => f^-1 ist stetig (in der Vorlesung bewiesen)
f^-1: f(R)->R => f^-1(O2)=f^-1(f(O1))=O1 => f^-1 ist offen
3) folgt heut abend
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Storch
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Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:43:   Beitrag drucken

Okay, weiter geht's:
3) f: R^2->R,(x1,x2)->x1 stetig, O1 aus R^2 offen, f(O1)=O2
(1 und 2 sind bei x bzw. O und ab jetzt auch bei a natürlich Indizes und das n bei der Folge (xn) logischerweise auch)
sei a=(a1,a2) aus O1 und (xn) beliebige Folge in R^2 mit xn->a (n->unendl.) <=> (x1n,x2n)->(a1,a2) (n->unendl.) <=> x1n->a1 (n->unendl.)
lim xn=a => für alle e>0 (soll für Epsilon stehen) gibt es ein N aus den nat. Zahlen, so dass für alle n>N gilt: xn liegt in der e-Umgebung von a für a aus O1 beliebig
Beh.: O2 offen
f(a)=a1, f(xn)=x1n für alle n aus den nat. Zahlen
a1, x1n sind natürlich aus O2
f stetig => f(xn)->f(a) (n->unendl.) <=> x1n->a1 (n->unendl.) => für alle d>0 (steht für Delta) gibt es ein N aus den nat. Zahlen, so dass für alle n>N gilt: x1n ist aus der d-Umgebung von a1 für a1=f(a) aus O2 mit a aus O1 beliebig => O2 ist offen

und zu 4)
z.B. ist f:R-<R^2, x->(x,x) stetig und dass f offen ist folgt fast direkt aus 3)

Ich hoffe, das hilft Dir bzw. bringt ein paar Punkte!

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