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Susann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 07:02: | 
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Wie kann man Integrale vom Typ: Wurzel(ax^2+bx+c) oder 1/(Wurzel(ax^2+bx+c)) durch Zurückführung auf Grundintegrale und/oder Substitution lösen |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 07:22: |
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Hallo :
Mit Hilfe der Quadratischen Ergaenzung laesst sich
ax^2 + bx + c in die Gestalt a(x + u)^2 + v
bringen. Mittels einer einfachen Substitution
landet man dann bei einem Grundintegral, bei
dem z.B. sqrt(z^2 + 1) auftritt.
Rechne selbstein paar Zahlenbeispiele !
Soviel in Eile
Hans |
Susann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:16: |
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Jo, wers mal probieren |
Susann
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 21:58: |
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Soweit sogut, bis wurzel(z^2+a) bin ich gekommen aber wie integriere ich dieses? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 07:50: |
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Na ja, da bist Du ja schon fast am Ziel.
(Aber Achtung : das a in z^2 + a ist nicht der
Leitkoeffizient in ax^2+bx+c). Wir haben also nach
Substitution x+u = z fŸr den Radikanden
ax^2+bx+c = a(x+u)^2 + v = az^2+v
wobei u = b/2a , v = (4ac-b^2)/4a = - d/4a
d= b^2-4ac = Diskriminante. Nehmen wir mal an,
dass a>0 und v>0. Dann kann man schreiben
az^2+v = v[(a/v)z^2+1] = v[((sqrt(a/v)z)^2+1]
= v(t^2+1) mit t=sqrt(a/v)z,
dt=sqrt(a/v)dz.
Hans |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. Januar, 2001 - 00:38: |
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Hallo Susann,
es gibt einen lustigen Satz, der besagt, daß alle Funktionen der Bauart Polynom*f oder Polynom/f wobei f=w(ax^2+bx+c) eine elementare Stammfunktion besitzt. (Konkret hat man aber zu tun)
Der interessanteste Fall ist Diskrimante < 0. Das war ja auch Deine Frage nach
int w(1+z^2) dz (Nur mit Grundintegralen, Integraltafeln sind ja auch unfair).
Das Integral integrierst Du zunächst partiell (ein Faktor=1) und bekommst ein Restintegral, das Du in
-Ausgangsintegral + folgendes Integral zerlegst:
int dz/w(1+z^2)
Schon Euler kannte folgende raffinierte Substituion die Wurzel wegzubekommen (Heute als eine Eulersche Substitution bekannt, es gibt 3)
Wir führen t ein mit
t-z = w(1+z^2) dann gilt t^2-2tz = 1
[Das -z steht links, damit das z^2 rausfällt]
also z = (t^2-1)/(2t) = (t-1/t)/2
Daraus bekommen wir
t-z = (t+1/t)/2 = (t^2+1)/(2t) [also w(1+z^2)]
und dz = (1+1/t^2)/2 dt = (t^2+1)/(2t^2) dt
Nach dem Einsetzen und Substitutionsregel kürzt sich alles heraus:
dz/w(1+z^2) = dz/(t-z) = dt/t
Somit int dz/w(1+z^2) dz = int dt/t = Log t = Log(z+w(1+z^2))
Man kann das aber auch mit einer transzendenten Substitution machen: t=sinh z. Die Bestimmung der Umkehrfunktion dauert aber auch etwas.
Im Komplexen kann man dieses Integral mittels z=it auf das Grundintegral int dt/w(1-t^2) = Arcsin t zurückführen, benötigt dann aber den komplexen Arcsin.
Frage bitte, wenn noch was unkar ist. |
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