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Beitrag |
    
Anna Burgmüller (Anna_Burg)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 13:21: | 
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Hallo ihr da draussen!
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich zwar einen Ansatz habe, aber nach kurzer Zeit nicht weiterkomme.
Ich hatte mir überlegt, dass die Mantelfläche des Zylinders gegeben ist durch die Formel M=2pi * r *h.
Wer kann helfen?
1.Aufgabe
M sei der Mantel eines Zylinders in R^3 mit Achse g={t c| t e R}
und Radius r=2, wobei c= 1/Wurzel 14 (1,3,-4).
(a) Beschreiben Sie die Zylinderfläche M durch eine Gleichung unter Verwendung
der Orthogonalprojektion P auf die Achse g.
(b) Zeigen Sie, dass der Punkt x0=1/Wurzel 70 (-5,13,10) auf M liegt.
2.Aufgabe
(a) Beschreiben Sie den Zylindermantel M durch Parametrisierung mit einer Winkelkoordinate
Phi e [0,2Pi] und einer Höhenkoordinate t element R, d.h. durch eine Abbildung
(Phi,t) --> Gross-PHI (Phi,t), [0,2Pi] kreuz R --> M.
(b) Stellen Sie die Gleichung der Tangentialebene E von M im Punkt x0 element M auf.
(c) Geben Sie für E eine Parameterdarstellung.
Hinweis zur 2. Aufgabe: Ergänzen Sie in (a) den Vektor c zu einer rechtshändigen Orthonormalbasis
a,b,c (wählen Sie zur Vereinheitlichung a=(a,b,c) mit b=0 und a>0).
Die Tangentialebene geht durch den Punkt x0 und hat (x0)-P(x0) als Normalenvektor.
Gruß an euch,
Anna |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 15:25: |
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Hallo : Hier ein paar Hinweise, rechnen musst
Du schon selbst.
Aufgabe 1.
Gesucht ist also die Koordinatengleichung der
Mantelflaeche M, also eine Gleichung in den
Koordinaten x,y,z eines variablen Punktes P in R^3, die genau dann erfŸllt ist, wenn P auf M
liegt. Dies hat nichts mit der Formel M=2Pi*r*h
fŸr die Mantelflaeche zu tun.
Folgendes hast Du zu tun :
1. Gleichung der Ebene E sekrecht zu g, welche
durch P verlaeuft :
Ist Q=(u,v,w) ein Punkt in E, so muss gelten
(u-x) + 3(v-y) - 4(z-w) = 0
2.Der Durchstosspunkt D der Achse g mit E ist zu
zu bestimmen : FŸr den entspr. Parameterwert t
muss gelten
t - x + 3(3t -y) - 4(-4t - z) = 0,
Das loest man nach t auf und hat damit die
Koordinaten von D als Funktionen von x,y,z.
Schliesslich muss gelten |DP|^2 = r^2.
Das ist die gesuchte Gleichung von M.
2. Aufgabe:
Ein zu c orthogonaler Einheitsvktor
ist z.B.
b = 1/sqrt(17) (4 , 0 , 1)
Jetzt fehlt noch ein passender zu b und c
ortogonaler Einheitsvektor a , sodass a,b,c
ein positiv orientiertes Dreibein bilden :
das ist das Kreuzprodukt von b und c.
Have fun
Hans |
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