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Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 19:04: | 
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Hier ein Problem für die Cracks unter Euch (ich kenne selbst die Lösung nicht).
Man nehme eine Zahl aus einer einfachen quadratischen Körpererweiterung von Q, z.B. 1+Ö2. Diese Zahl quadrieren wir und fragen uns wie wir daraus die Quadratwurzel ausziehen können.
Z.B. Ö(3+2Ö2) = 1+Ö2 und Ö(19-6Ö2) = -1+3Ö2.
Das geht ganz einfach, man setzt Öa+bÖr = r+sÖr an, quadriert und bekommt durch Koeffizientenvergleich ein GLS, was man mit dem Vietaschem Wurzelsatz auf eine Quadratische Gleichung bringt, ist diese über Q reduzibel, d.h. sie hat rationale Lösungen, ist {a+bÖr} ausziehbar.
Bei 3Ö(a+bÖr) gibt es einen Trick einen Teil der Cardanischen Formel zu benutzen. Wenn die zugehörige kubische Gleichung eine rationale Lösung besitzt, so ist 3Ö(a+bÖr) ausziehbar.
Bei der 4. Wurzel kann man das Verfahren für die Quadratwurzel 2-mal anwenden.
Wie kann man 5Ö(a+bÖr) ausziehen? |
Percy
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 20:11: |
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Hallo stefan,
wie stellst du dir das radizieren bei der 3. Wurzel genau vor?
Eine Kubische Gleichung besitzt zumindest immer eine reelle lösung, was bringzt die einschränkung rationale Lösung? könnte man nicht den Ansatz auf die Reellen oder sogar komplexe Zahlen übertragen?
Gruß Percy |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 20:44: |
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Hallo Percy,
danke für Dein Interesse. Das Problem des Ausziehens der 3. Wurzel ist genauso wie bei der 2. Wurzel. z.B. 3Ö(7+5Ö2)
= 1+Ö2.
Die kubische Gleichung ist nur Hilfsmittel um die 3. Wurzel auszuziehen. Es ist etwas tricky, und Du mußt dazu die Cardanische Formel zum exakten Auflösen von kubischen Gleichungen kennen und hinreichend oft angewendet haben. Ich kann das hier nicht tippen, dazu ist die Formatierungssprache zu schwach. Kannst Du LaTeX?
Hast Du es schon im Fall der Quadratwurzel probiert, da bekommst Du eine Quadratische Gleichung? Wenn sie keine rationale Lösung besitzt, sind die gesuchten Koeffizienten a und b nicht rational, also die Wurzel nicht ausziehbar.
Was meinst Du mit "Ansatz auf die Reellen oder sogar komplexe Zahlen übertragen?". Im Komplexen geht es auch: Ö(3+4i) = 2+i.
Den quadratischen Fall kann ich bei Interesse auch hier posten (das geht typographisch gerade noch.) |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 22:57: |
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Hallo Stefan
Ich habe versucht, Deine Vorgehensweise nachzuvollziehen, wollte nur mal
prüfen, ob ich alles richtig verstanden habe:
Also nehmen wir eine Nullstelle a des irreduziblen Polynoms f=T²+pT+q.
Gegeben ist c+da. Ansatz c+da=(x+ya)²=x²+2xya+y²a²=(Division mit Rest durch
f)=(2xy-y²p)T+x²-y²q. Jetzt können wir Koeffizientenvergleich vornehmen, mir
ist jetzt aber nicht ganz klar, wie man das jetzt lösen soll, ohne
Doppelwurzeln zu bekommen, die man nicht algorithmisch auflösen kann, obwohl
sie rationale Zahlen sind.
viele Grüße
SpockGeiger |
Percy
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 14:39: |
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Hallo Stefan,
die cardanische Formel ist mir bestens bekannt.Allerdings weiß ich nicht was LaTex ist.
zur kubischen Gleichung:
um eine Kubische Gleichung zu lösen, müssen wir sie auf die quadratische Resolvente zurückführen.im irreduziblen Fall sind die Lösungen der quadratischen Gleichung komplex, d.h. in der Form
a+b*i wobei a eine einfache quadratwurzel ist. Im Prinzip also
(a+Ö-b)
wenn du dafür ein verfahren kennsst, wie man auf algebrarische weise die kubikwurzel ziehen kannst, dann könnte man den trigonometrieschen Umweg des Casus irreducibilis umgehen.
Wenn man nun den Ansatz wie bei quadratwurzeln wagt, kommt man soviel ich weis, jedenfals im bereich der komplexen Zahlen zu einer kubischen Gleichung, die wiederum irreduzibel ist. Ein Ringschluß.
Gruß Percy |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 15:14: |
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Hallo SpockGeiger,
nee, so meine ich das nicht. Hier das Verfahren zum ausziehen der Quadratwurzeln und ein Beispiel.
[Schreibweise w(r) = Quadratwurzel aus r]
Sei a,b,c ganz und c quadratfrei, x:=a+bw(c). Es soll geprüft werden, ob sich die Quadratwurzel aus x ausziehen lässt und ggf. berechnet werden. Algebraisch präziser formuliert: liegt mit x auch w(x) in Q(w(c))?
Wir machen den Ansatz w(x) = r+sw(c), wo bei r>0. Die andere Wurzel ist dann -r-sw(c).
quadrieren: a+bw(c) = r²+cs² + 2rsw(c)
Koeffizientenvergleich liefert:
(1) r²+cs² = a
(2) 2rs = b, also r²cs² = b²c/4
somit sind nach dem Vietaschen Wurzelsatz r² und cs² die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung z²-az+b²c/4 = 0.
Die Wurzel ist im o.g. Sinne ausziehbar, wenn diese Gleichung reduzibel ist und eine Lösung z1 ein Quadrat ist. Folglich ist dann r²=z1 und cs²=z2. Das Vorzeichen von s ist gleich dem von b zu wählen.
Beispiel: gesucht ist die Quadratwurzel aus 29+12w(5).
quadratisiche Gleichung ist z²-29z+180 = (z-9)(z-20). Somit ist r²=9 und 5s²=20, d.h. r=3 und s=2. Somit ist die Quadtratwurzel aus 29+12w(5) gleich 2+3w(5).
Es gibt noch den interessanten Fall, daß die Quadratwurzel zwar im o.g. Fall nicht ausziehbar ist, das Ergebnis aber in Q(w(u),w(v)) liegt.
Beispiel Quadratwurzel aus 5+2w(6) = w(2) + w(3).
Sei x=a+w(b). Diesen, und den obigen Fall kann man auch zusammen mit dem Ansatz w(x) = w(c)+w(d) behandeln. |
Stefan (Stefan26)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 16:28: |
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Hallo Percy,
ja, Du hast es richtig bemerkt: Wenn sich bei der Cardanischen Formel die Kubikwurzel ausziehen lässt, dann kann man dem casus irreducibilis sozusagen beikommen. Und das ist genau der Punkt: wenn die vorgelegte kubische Gleichung irreduzibel ist, dann lässt sich nach einem tiefliegenden Satz aus der Algebra (van der Waerden: Algebra I) der casus irreducibilis NICHT algebraisch behandeln und die Kubikwurzel der Cardanischen Formel ist nicht ausziehbar.
Vom algebraischen Standpunkt muß man diese bemerkenswerte Summe von 2 komplexen Kubikwurzeln stehen lassen. [Wer unbedingt möchte, kann die Lösungen mittels transzendenter Funktionen (z.B. cos) ausdrücken und näherungsweise berechnen.]
Wenn jedoch die vorgelegte kubische Gleichung reduzibel ist, dann lässt sich die Kubikwurzel der Cardanischen Formel ausziehen, und man kann die beiden konjugierten Kubikwurzeln zusammenfassen.
Beispiel: wir betrachten die reduzible kubische Gleichung z3-5z-2 = (z+2)(z²-2z-1) = 0
Die Cardanische Formel liefert
u = 1/3 3.W(27+21w(-6)), v = 1/3 3.W(27-21w(-6))
Die Kubikwurzel lässt sich ausziehen:
u = 1/3 (-3+w(-6)), v = 1/3 (-3-w(-6))
Somit z1 = u+v = -2. z2 und z3 habe ich mal weggelassen.
Zum auflösen einer reduziblen kub.Gl. wird man allerdings nicht die Cardanische Formel heranziehen. Wir drehen aber den Spieß um, und können so eine vorgelegte Kubikwurzel ausziehen, indem wir die zugehörige kub. Gl. ausfstellen und gucken ob sie reduzibel ist, wenn nicht geht die Kubikwurzel nicht auszuziehen. Wenn ja, bestimmen wir die rationale Lösung und daraus (mit einem kleinen Trick) die ausgezogene Kubikwurzel.
Zu LaTeX habe ich unter Sonstiges etwas erklärt. |
Percy
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 23. Januar, 2001 - 17:20: |
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Hallo stefan,
könntest du noch einmal den Trick mit der Cardanischen Formel erklären?
Wenn ich nun u³ und v³ in der Form a+-Öb habe, dann würde ich die Cardanische Formel anwenden. dauert es nicht zu lange erst wieder über eine kub. Gleichung die Kubikwurzel auszuziehen?
Gruß percy |
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