| Autor |
Beitrag |
    
Karsten
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 17:39: | 
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Hallo,
habe ein kleines Problem mit dieser Ungleichung:
((3-x)/(1+x))>1
Um diese Aufgabe zu lösen muß man eine Fallunterscheidung machen. (Aufgabe ist übrigens in Mathematik für Fachhochschulen von Peter Stingl auf Seite 89 zu finden).
1. Fall: 1+x > 0 (das heißt, x > -1)
Dann gilt für die Ungleichung:
3-x > 1+x bzw. 2 > 2x also x < 1; wenn also x > -1, lösen alle x Element R mit x < 1 die Ungleichung.
Soweit alles klar.
Aber nun:
2. Fall: 1+x < 0 (das heißt, x < -1)
Dann gilt für die Ungleichung:
3-x < 1+x , diesen Schritt habe ich nicht verstanden, warum kehrt sich das Relationszeichen um.
Ich habe so angesetzt:
((3-x)/-(1+x)) > 1 (führt aber nicht zum Ziel).
Wer kann mir mal kurz auf die Sprünge helfen???
Gruß
Karsten |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 08:17: |
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Hallo :
Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl
multipliziert, so kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, formal geschrieben :
a < b und c < 0 ===> ac > bc
Beispiel : 3 < 5 , (-2)*3 = -6 > - 10 = (-2)*5.
Das passiert nun gerade im 2. Fall (1+x<0) Deiner
Fallunterscheidung .
Im uebrigen wuerde ich einen anderen Loesungsweg
vorschhlagen, der ohne Fallunterscheidung auskommt:
Subtrahiere beiderseits 1 und bringe alles auf
den Nenner 1+x. Die Ungleichung heisst dann - nach
erlaubter Weglassung des Faktors 2 -
(1 - x)/(1 + x) > 0 ; x <> 0
Ein Quotient a/b ist positiv genau dann wenn
a und b dasselbe Vorzeichen haben, d.h. wenn
auch ihr Produkt ab positiv ist.
Unsere Ungleichung ist also aequivalent mit
(1-x)(1+x) > 0 ; x <> 0
<==> 1 - x^2 > 0 ; "
<==> -1 < x < 1 ; x <> 0.
Gruss
Hans |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 08:20: |
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Hallo :
Wenn man eine Ungleichung mit einer negativen Zahl
multipliziert, so kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, formal geschrieben :
a < b und c < 0 ===> ac > bc
Beispiel : 3 < 5 , (-2)*3 = -6 > - 10 = (-2)*5.
Das passiert nun gerade im 2. Fall (1+x<0) Deiner
Fallunterscheidung .
Im uebrigen wŸrde ich einen anderen Ls<caron>sungsweg
vorschhlagen, der ohne Fallunterscheidung auskommt:
Subtrahiere beiderseits 1 und bringe alles auf
den Nenner 1+x. Die Ungleichung heisst dann - nach
erlaubter Weglassung des Faktors 2 -
(1 - x)/(1 + x) > 0 ; x <> 0
Ein Quotient a/b ist positiv genau dann wenn
a und b dasselbe Vorzeichen haben, d.h. wenn
auch ihr Produkt ab positiv ist.
Unsere Ungleichung ist also aequivalent mit
(1-x)(1+x) > 0 ; x <> 0
<==> 1 - x^2 > 0 ; "
<==> -1 < x < 1 ; x <> 0.
Gruss
Hans |
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