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Jan
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 12:04: | 
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Vielen Dank noch mal an Quaternion. Hab' meinen Denkfehler beim Ableiten von e-Funktionen jetzt hoffentlich ertappt ;-)
Leider blieb meine andere Frage noch offen, die da lautete:
P(x) und Q(x) sind Polynome mit Q(x)!=0 für x!=0.
1. ZZ: Die Funktion f:R->R mit f(0)=0 und
f(x)=[P(x)/Q(x)}*e^(-1/x^2) für x!=0 ist auf ganz R diffbar mit f'(0)=0.
Bei einer anderen Teilaufgabe dachte ich, dass ich auf dem richtigen Weg wäre, doch irgendwie lande ich immer in einer Sackgasse:
Man sollte noch _durch Induktion_ zeigen, dass (g^(n))(x) =[Pn(x)/Qn(x)}*e^(-1/x^2) für x!=o ist, wobei g^(n) die n-te Ableitung ist. Kann man da vielleicht was machen, indem man g^(n+1) umschreibt zu [g^(n)]' ???
Danke, danke im Vorraus,
Jan |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 15:01: |
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Hallo :
Zunaechst zu
g(x) := exp(-1/x^2)
Behauptung :
g^(n)(x) = p_n(1/x) g(x),
wobei p_n(z) ein Polynom vom Grad 3n in z ist. Das stimmt offenbar fuer n=0 mit p_0(z) = 1, und es
sei fuer irgendein n schon gesichert.
Nun leitet man ab (beachte die Produkt-und die
Kettenregel !):
g^(n+1)(x) =
[(2/x^3) p_n(1/x) - (1/x^2) p_n'(1/x)]g(x)
= [2 z^3 p_n(z) - z^2 p_n'(z)]g(x) , z := 1/x.
Daraus ersieht man, dass die p_n sich rekursiv
folgendermassen bestimmen lassen :
p_0(z) = 1 ,
p_(n+1)(z) = 2 z^3 p_(n)(z) - z^2 p_(n)'(z).
Also findet man z.B.
p_1(z) = 2 z^3 , p_2(z) = 4 z^6 - 6 z^4 ,
p_3(z) = 8 z^9 - 36 z^7 + 24 z^5 , etc.
Was Teil 1. betrifft, so muss man die Differenzierbarkeit nur fuer die Stelle x = 0
nachweisen. Dazu betrachtet man den Differenzen-
quotienten
[f(h) - f(0)]/h = P(h)/Q(h)*(1/h)*exp(-1/h^2).
Wegen Q(h) <> 0 und lim(h->0)[(1/h)exp(-1/h^2)]=0
(letzteres eine bekannte Aussage ueber das Wachs-
tum der Exponentialfunktion) folgt die Beh.
Gruss
Hans |
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