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Tim
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 23:01: | 
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Arrg!
Jetzt sitz ich hier wieder um Mitternacht und werde einfach nicht fertig...
Mein Problem ist Folgendes:
Es ist von f(x)= x log x zunächst f' zu berechnen (schaff ich ja gerade noch). Nun soll aber gezeigt werden, dass f ein eindeutiges Minimum auf ]0,infinity[ besitzt, jedoch kein Maximum. Dabei soll beachtet werden, dass lim x log x =0 ist für x->0 und es muss die notw. Bed. für Extrema verwendet werden.
Wie soll man das bloß lösen??! Zu sagen, dass f'(x)=ln x + 1 ist und dass dies für x=0.1 gleich null wird reicht wohl nicht aus...
Riesigen Dank im Vorraus für Eure Mühe,
Tim |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 21. Januar, 2001 - 07:40: |
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Hallo :
Kein Grund zur Panik !
f'(x) = 1 + ln x
ist ok. Aber f'(0.1) ist nicht Null, Du hast
wohl log x = ln x mit lg x (=log_10 x) verwechselt ? Nehmen wir also an, es heisst ln x.
Es gilt dann
f'(x) = 0 <==> x = 1/e
Genauer :
f'(x) < 0 fuer x < 1/e , f'(1/e) = 0 ,
f'(x) > 0 fuer x > 1/e
Oder : f' erleidet einen Vorzeichenwechsel von -
zu + beim Durchgang durch die Nullstelle 1/e, d.h.
f ist streng monoton fallend in ]0,1/e] und
streng monoton wachsend in [1/e,oo[. Damit ist
gezeigt, dass das einzige lokale Extremum von f
(beachte, dass f' genau eine Nullstelle hat)
ein Minimum ist, und dieses ist sogar ein globales
Minimum. Wenn man will, kann man noch zur Besaeti-
gung f"(x) = 1/x betrachten : f"(x) > 0 ==>
f ist konvex.
Gruss
Hans |
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